ディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

のすべての解を求める問題よりは，因数分解

　　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3－３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2－２ｘｙ－２ｙｚ－２ｚｘ）

の方がなじみ深かったかもしれない．

　なお，マルコフ方程式を一般化した

　　ｘ1^2＋ｘ2^2＋・・・＋ｘn^2＝ａｘ1ｘ2・・・ｘn

はフルヴィッツ方程式と呼ばれるとのことである．

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　ａｒｃｓｅｃ（ｘ）＝ａｒｃｃｏｓｈ（１／ｘ）＝ｌｏｇ（１／ｘ＋√（１／ｘ^2－１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（ｘ）＝ｌｏｇ（ｘ＋√（ｘ^2－１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（３ｘ／２）＝ｌｏｇ（３ｘ／２＋√（９ｘ^2／４－１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（３ｙ／２）＝ｌｏｇ（３ｙ／２＋√（９ｙ^2／４－１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（３ｚ／２）＝ｌｏｇ（３ｚ／２＋√（９ｚ^2／４－１））

　ザギエはｆ（ｔ）＝ａｒｃｃｏｓｈ（３ｔ／２）を用いて，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ＋４／９

が，ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｆ（ｚ）と書けることを示した．

ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｏｇ（９ｘｙ／４＋√（８１ｘ^2ｙ^2／１６－９ｙ^2／４）＋√（８１ｘ^2ｙ^2／１６－９ｘ^2／４）＋√（８１ｘ^2ｙ^2／１６－９ｘ^2／４－９ｙ^2／４＋１）

ｆ（ｚ）＝ｌｏｇ（３ｚ／２＋√（９ｚ^2／４－１））

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ＋４／９

をｚについて解くと，

　　ｚ^2－３ｘｙｚ＋ｘ^2＋ｙ^2－４／９＝０

　　ｚ＝１／２｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）｝

３ｚ／２＋√（９ｚ^2／４－１））に代入すると，

３／２｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）＋

√（９／１６｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）｝^2－１）＝

３／２｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）＋

√（９／１６｛９ｘ^2ｙ^2±６ｘｙ√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）＋９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）－１｝＝

｛９ｘｙ／２±３／２√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）＋

√（｛８１ｘ^2ｙ^2／１６±２７／８ｘｙ√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）＋８１ｘ^2ｙ^2／１６－９／４ｘ^2－９／４ｙ^2）＝

｛９ｘｙ／２±３／２√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９）＋

√（｛８１ｘ^2ｙ^2／８－９／４ｘ^2－９／４ｙ^2±２７／８ｘｙ√（９ｘ^2ｙ^2－４ｘ^2－４ｙ^2＋１６／９））＝・・・２重混号を外すのも大変そうである．

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