ディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

のすべての解を求める問題よりは，因数分解

　　ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2−２ｘｙ−２ｙｚ−２ｚｘ）

の方がなじみ深かったかもしれない．

　なお，マルコフ方程式を一般化した

　　ｘ1^2＋ｘ2^2＋・・・＋ｘn^2＝ａｘ1ｘ2・・・ｘn

はフルヴィッツ方程式と呼ばれるとのことである．

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　ａｒｃｓｅｃ（ｘ）＝ａｒｃｃｏｓｈ（１／ｘ）＝ｌｏｇ（１／ｘ＋√（１／ｘ^2−１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（ｘ）＝ｌｏｇ（ｘ＋√（ｘ^2−１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（３ｘ／２）＝ｌｏｇ（３ｘ／２＋√（９ｘ^2／４−１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（３ｙ／２）＝ｌｏｇ（３ｙ／２＋√（９ｙ^2／４−１））

　ａｒｃｃｏｓｈ（３ｚ／２）＝ｌｏｇ（３ｚ／２＋√（９ｚ^2／４−１））

　ザギエはｆ（ｔ）＝ａｒｃｃｏｓｈ（３ｔ／２）を用いて，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ＋４／９

が，ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｆ（ｚ）と書けることを示した．

ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｏｇ（９ｘｙ／４＋√（８１ｘ^2ｙ^2／１６−９ｙ^2／４）＋√（８１ｘ^2ｙ^2／１６−９ｘ^2／４）＋√（８１ｘ^2ｙ^2／１６−９ｘ^2／４−９ｙ^2／４＋１）

ｆ（ｚ）＝ｌｏｇ（３ｚ／２＋√（９ｚ^2／４−１））

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ＋４／９

をｚについて解くと，

　　ｚ^2−３ｘｙｚ＋ｘ^2＋ｙ^2−４／９＝０

　　ｚ＝１／２｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）｝

３ｚ／２＋√（９ｚ^2／４−１））に代入すると，

３／２｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）＋

√（９／１６｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）｝^2−１）＝

３／２｛３ｘｙ±√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）＋

√（９／１６｛９ｘ^2ｙ^2±６ｘｙ√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）＋９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）−１｝＝

｛９ｘｙ／２±３／２√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）＋

√（｛８１ｘ^2ｙ^2／１６±２７／８ｘｙ√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）＋８１ｘ^2ｙ^2／１６−９／４ｘ^2−９／４ｙ^2）＝

｛９ｘｙ／２±３／２√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９）＋

√（｛８１ｘ^2ｙ^2／８−９／４ｘ^2−９／４ｙ^2±２７／８ｘｙ√（９ｘ^2ｙ^2−４ｘ^2−４ｙ^2＋１６／９））＝・・・２重混号を外すのも大変そうである．

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