正単体の場合，ｐ1＝ｐ2＝・・・ｐn-1＝３である．

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【１】Ａn型ルート格子

　　｜Ａ2 ｜＝｜２　１｜＝３

　　　　　　　｜１　２｜

　　　　　　　｜２　１　０｜

　　｜Ａ3 ｜＝｜１　２　１｜＝４

　　　　　　　｜０　１　２｜

は容易に計算できる．

　　・−・・・・・−・

をＡn のディンキン図形とすると，Ａn+1は左から・−を作用させた

　　・−・−・・・・・−・

すなわち，

　　・−（Ａn ）

であるから，その隣接行列式は

　　　　　　　　｜２　１　・・　０｜　｜２　１　・・　０｜

　　｜Ａn+1 ｜＝｜１　２　・・　０｜＝｜１　　　　　　　｜

　　　　　　　　｜０　１　・・　１｜　｜０　　　Ａn 　　｜

　　　　　　　　｜０　０　・・　２｜　｜０　　　　　　　｜

で表される．

　右辺を第１行について展開すると

　　　　　　　　　　　　　　 ｜１　１　０　・・　｜

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜０　　　Ａn-1 　　｜

　　　　　　　　　　　　　　 ｜０　　　　　　　　｜

次に，第１列について展開して

　　｜Ａn+1 ｜＝２｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　このことから，

　　｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜＝｜Ａn ｜ −｜Ａn-1 ｜

　＝・・・＝｜Ａ3 ｜ −｜Ａ2 ｜＝１

であり，したがって，数列｛｜Ａn+1 ｜−｜Ａn ｜｝は公差１の等差数列であることがわかり，

　　｜Ａn ｜＝１＋ｎ

が得られる．

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