相反方程式（係数が対称な方程式），たとえば，

　　５λ^4＋８λ^3＋９λ^2＋８λ＋５＝０

を考える．λ^2≠０で割ると

　　５λ^2＋８λ＋９＋８／λ＋５／λ^2＝０

　　５（λ^2＋１／λ^2）＋８（λ＋１／λ）＋９＝０

　　５｛（λ＋１／λ）^2−２｝＋８（λ＋１／λ）＋９＝０

　　５（λ＋１／λ）^2＋８（λ＋１／λ）−１＝０

　λ＋λ~＝λ＋１／λ＝ｘとおくと

　　５ｘ^2＋８ｘ−１＝０

　　ｘ＝（−４±√２１）／５

　４λ^3＋６λ^2＋６λ＋４＝０の場合，

４（λ^3＋１）＋６λ（λ＋１）＝０

４（λ＋１）（λ^2−λ＋１）＋６λ（λ＋１）＝０

２（λ＋１）（２λ^2＋λ＋２）＝０

２（λ＋１／λ）＋１＝０

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　こうして相反方程式の次数はｎが奇数なら（ｎ−１）／２次，ｎが偶数ならｎ／２次に簡約化される．しかし，その係数は対称にはならない．

　また，λ＋λ~＝λ＋１／λ＝ｘとおくと

　　ｘ＝２ｃｏｓξ→｜ｘ｜≦２

　したがって，代数方程式

　　ｂnｘ^n＋ｂn-1ｘ^n-1＋・・・＋ｂ1ｘ＋ｂ0＝０

の解がすべて｜ｘ｜≦１にある条件がわかれば，

　　ｂn（ｘ／２）^n＋ｂn-1（ｘ／２）^n-1＋・・・＋ｂ1（ｘ／２）＋ｂ0＝０

から，ひとつの条件がでると思われる．

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