ｘ^2＋２ｙ^2＝ｚ^2の整数解は

　　ｘ＝ａ^2−２ｂ^2，ｙ＝２ａｂ，ｚ＝ａ^2＋２ｂ^2

　　ａ，ｂは互いに素，ａは奇数

で与えられる．

　それに対して，

　ｘ^4＋２ｙ^4＝ｚ^2

は整数解をもたない．

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（証）もし解をもてば

　　ｘ^2＝ａ^2−２ｂ^2，ｙ^2＝２ａｂ，ｚ＝ａ^2＋２ｂ^2

が成り立つ．ｙ^2＝２ａｂで，ｙは偶数，ｙ^2は４の倍数だから

　（ａ，ｂ）＝（奇，偶）であることが導かれる．

　（ａ，ｂ）＝１→（ａ，ｂ／２）＝１

　ｙ^2＝２ａｂ→（ｙ／２）^2＝ａ・ｂ／２→ａ＝ｍ^2，ｂ／２＝ｎ^2でなければならない．

→ｘ^2＝ａ^2−２ｂ^2＝ａ^2−８（ｂ／２）^2＝ｍ^4−８ｎ^4＝（ｍ^2）^2−２（２ｎ^2）^2が解をもつ．

　ｘとａが奇数であることから，ｘ2は４で割ると１余る．

　ａ^2−８（ｂ／２）^2も４で割ると１余る．

　ｘ^2＋２（２ｎ^2）^2＝（ｍ^2）^2

　（ｘ，ｎ，ｍ）は互いに素で，ｘ，２ｎ^2，ｍ^2も解となるので，

　　ｘ＝ｐ^2−ｑ^2，２ｎ^2＝２ｐｑ，ｍ＝ｐ^2＋２ｑ^2

　　ｐ，ｑは互いに素，ｐは奇数

が存在する．

　　→ｐ＝ｓ^2，ｑ＝ｒ^2でなければならない．

　　→ｓ^4＋２ｒ^4＝ｍ^2

でなければならない．

　こうして，解の列は無限に減少するから矛盾．

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　同様に

　　ｘ^4＋４ｙ^4＝ｚ^2，ｘ^4−ｙ^4＝ｚ^2

　　ｘ^4−ｙ^4＝２ｚ^2，ｘ^4−４ｙ^4＝ｚ^2

も整数解をもたない．

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