歯車の穴に鉛筆を差し込んで回転させると花びら模様が描かれるおもちゃがある．これをスパイログラフというらしい．この装置がヒポサイクロイドの応用であることはすぐに理解される．固定円と回転円の半径比Ｒ／ｒが無理数なら曲線は決して閉じないから，有理数倍になっているのであろう．

　ヒポサイクロイドで，Ｒ／ｒ＝４の場合がアステロイドである．

　　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝Ｒ^2/3

アステロイドはｘ，ｙ軸上に端点のある長さＲの線分により作られる包絡線であり，また，長半径と短半径の和がＲである楕円

　　ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／（Ｒ−ａ）^2＝１

の包絡線ともなっている．

　アステロイドが囲む周長は６Ｒであるが，サイクロイドと同様，定数πに依存していない．また，面積は３πＲ^2／８で，固定円の面積の３／８（回転円の６倍）である．

　一方，エピサイクロイドは地球から見たときの惑星の逆行運動の説明に用いられた曲線で，古代ギリシア人は，惑星の動きを表現するために周転円（円の周りをまわる円）を考えていたことが知られている．

　エピサイクロイドで，Ｒ／ｒ＝１の場合がカージオイドである．カージオイドは定円上に中心があり，カスプを通るような円の包絡線でもある（周長１６Ｒ，面積６πＲ^2）．

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