ヘッセの標準形

　　ｘ・ｃｏｓθ＋ｙ・ｓｉｎθ＝ｐ

　　θ：直線の放線の傾斜角，ｐ：放線の長さ

を使って，ヴィヴィアーニの定理「正三角形の内部の１点から各辺に垂線を下ろす．この点から３辺への距離の和は常に一定で，正三角形の高さと等しくなる」を証明しておきたい．

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（証）正三角形の３辺を

　　ｘ・ｃｏｓπ／３＋ｙ・ｓｉｎπ／３＝ｐ

　　ｘ・ｃｏｓπ＋ｙ・ｓｉｎπ＝ｐ

　　ｘ・ｃｏｓ（−π／３）＋ｙ・ｓｉｎ（−π／３）＝ｐ

とする．

　正三角形の内部の１点から各辺までの距離は

　　｜ｘ・ｃｏｓπ／３＋ｙ・ｓｉｎπ／３−ｐ｜／（ｃｏｓ^2π／３＋ｙ・ｓｉｎ^2π／３）^1/2

　　｜ｘ・ｃｏｓπ＋ｙ・ｓｉｎπ−ｐ｜／（ｃｏｓ^2π＋ｙ・ｓｉｎ^2π）^1/2

　　｜ｘ・ｃｏｓ（−π／３）＋ｙ・ｓｉｎ（−π／３）−ｐ｜／（ｃｏｓ^2（−π／３）＋ｙ・ｓｉｎ^2（−π／３））^1/2

であり，その和は３ｐとなる．

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　これを正ｎ角形へ拡張すると・・・正ｎ角形の内部の１点から各辺に垂線を下ろす．この点からｎ辺への距離の和は常に一定で，正ｎ角形の中心から辺までの距離のｎ倍となる．

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