等面四面体では，３ａ＝ｂとおくと，

　　ｂ^2＝ｅ^2＋ａ^2＝ｅ^2＋ｂ^2／９

　　ｃ^2＝ｅ^2＋４ａ^2＝ｅ^2＋４ｂ^2／９

　これより

　　ｂ^2＝３ｃ^2／４，ｂ＜ｃ

　　ｂ＝√３，ｃ＝２，ａ＝ｂ／３，ｅ＝√（８／３）

　正三角形の１辺の長さは等面四面体の最短辺√３より短い．

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　柱状空間充填の方向は，辺の数（ｎ＋１，２）だけあるので，その種類により異なるが，

［１］ｎの本体の断面は，ｎ−１次元等面単体

［２］ｎの展開図の断面は，ｎ−１次元等面単体のファセット

のものがあることが確かめられた．ｎ＝３の場合については・・・

　　Ｐ0（１，０，√２）

　　Ｐ1（０，０，０）

　　Ｐ2（１，√２，０）

　　Ｐ3（２，０，０）

　　Ｐ0Ｐ1＝Ｐ1Ｐ2＝Ｐ2Ｐ3＝√３

　　Ｐ0Ｐ2＝Ｐ1Ｐ3＝２

　　Ｐ0Ｐ3＝√３

より，Ｐ1を外す

Ｐ1＝Ｐ2＋ｓＰ1Ｐ0＝（１，√２，０）＋ｓ（１，０，√２）

より，ベクトル（１，０，√２）と直交するＰ1を通る平面

　　ｘ＋√２ｚ＝０

Ｑ0＝Ｑ1（０，０，０）

Ｑ2は，ｙ＝√２

　　（ｘ−１）＝ｚ／√２＝ｋ

ｘ＝１＋ｋ，ｚ＝√２ｋ

　　ｘ＋√２ｚ＝０に代入すると

　　１＋ｋ＋２ｋ＝０，ｋ＝−１／３

　　Ｑ2（２／３，√２，−√２／３）

Ｑ3は，ｙ＝０

　　（ｘ−２）＝ｚ／√２＝ｋ

ｘ＝２＋ｋ，ｚ＝√２ｋ

　　ｘ＋√２ｚ＝０に代入すると

　　２＋ｋ＋２ｋ＝０，ｋ＝−２／３

　　Ｑ3（４／３，０，−２√２／３）

　　Ｑ1（０，０，０）

　　Ｑ2（２／３，√２，−√２／３）

　　Ｑ3（４／３，０，−２√２／３）

　　Ｑ1Ｑ2^2＝２４／９

　　Ｑ1Ｑ3^2＝２４／９

　　Ｑ2Ｑ3^2＝２４／９

　　ｂ＝√３，ｃ＝２，ａ＝ｂ／３，ｅ＝√（８／３）と一致

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