■イブン・クッラの公式(その4)
2^nabと2^ncは親和数のペアである.
a=3・2^n−1(素数)
b=3・2^n-1−1(素数)
c=9・2^2n-1−1(素数)
aの自分自身を含む約数の和は,3・2^n
bの自分自身を含む約数の和は,3・2^n-1
cの自分自身を含む約数の和は,9・2^2n-1
2^nabの自分自身を含む約数の和は
(1+2+4・・・+2^n)・3・2^n・3・2^n-1
=(2^n+1−1)・9・2^2n-1
2^nabの自分自身を除く約数の和は
(2^n+1−1)・9・2^2n-1−2^n(3・2^n−1)(3・2^n-1−1)
=(2^n+1−1)・9・2^2n-1−2^n{9・2^2n-1−3・2^n−3・2^n-1+1}
=9・(2^3n−2^3n-1−2^2n-1)+2^n{3・2^n+3・2^n-1−1}
=9・2^2n-1(2・2^n−2^n−1)+2^n{6・2^n-1+3・2^n-1−1}
=9・2^2n-1(2^n−1)+2^n{9・2^n-1}−2^n
=2^n{9・2^2n-1−1}=2^nc
2^ncの自分自身を含む約数の和は
(1+2+4・・・+2^n)・9・2^2n-1
=(2^n+1−1)9・2^2n-1
2^ncの自分自身を除く約数の和は
(2^n+1−1)9・2^2n-1−2^n{9・2^2n-1−1}
=9・2^3n−9・2^2n-1−9・2^3n-1+2^n
=9・2^2n-1(2^n+1−2^n−1)+2^n
=9・2^2n-1(2・2^n−2^n−1)+2^n
=9・2^2n-1(2^n−1)+2^n
=2^n(9・2^2n-1+1)−9・2^2n-1
=2^n(9・2^2n-1+1)−6・2^2n-1−3・2^2n-1
=2^n(9・2^2n-1+1)−3・2^2n−3・2^2n-1
=2^n(9・2^2n-1−3・2^n−3・2^n-1+1)=2^nab
===================================