正三角形の内部の１点から各辺に垂線を下ろす．この点から３辺への距離の和は常に一定で，正三角形の高さと等しくなる．

　ヴィヴィアーニの定理は各辺までの垂直距離の和であったが，各頂点までの距離の和となると・・・

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［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝７ｃｍ，ｂ＝１０ｃｍ，ｃ＝１３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．

［Ａ］１辺の長さがｄの正三角形の中に点Ｐがあり，３頂点との距離はそれぞれａ，ｂ，ｃになっている．このとき，

　　３（ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＋ｄ^4）＝（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

が成り立つ．

　この公式を知っていれば答は簡単である．

　　ａ^2＝４９，ａ^4＝２４０１

　　ｂ^2＝１００，ｂ^4＝１００００

　　ｃ^2＝１６９，ｃ^4＝２８５６１

　　ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝３１８

　　ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4＝４０９６２

　　３（４０９６２＋ｄ^4）＝（３１８＋ｄ^2）^2

　　３（４０９６２＋ｄ^4）＝（３１８＋ｄ^2）^2

　　１２２８８６＋３ｄ^4＝１０１１２４＋６３６ｄ^2＋ｄ^4

　　ｄ^4−３１８ｄ^2＋１０８８１＝０

　　ｄ^2＝１５９±√１４４００＝１５９±１２０＝２７９，３９

　点Ｐは正三角形の中にあるから，ｄ＝√２７９

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