［参］河田直樹「整数と群・環・体」現代数学社

には「ウィルソンの定理と群」という秀逸なアイデアが収載されているので，紹介したい．

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【１】数値実験

　ユークリッド数を

　　Ｅ（ｎ）＝（ｎ−１）！＋１

ウィルソン数Ｗ（ｎ）をＥ（ｎ）をｎで割った余りと定義する．

　　Ｅ（２）＝２，Ｗ（２）＝０

　　Ｅ（３）＝３，Ｗ（３）＝０

　　Ｅ（４）＝７，Ｗ（４）＝３

　　Ｅ（５）＝２５，Ｗ（５）＝０

　　Ｅ（６）＝１２１，Ｗ（６）＝１

　　Ｅ（７）＝７２１，Ｗ（７）＝０

　　Ｅ（８）＝５０４１，Ｗ（８）＝１

　　Ｅ（９）＝４０３２１，Ｗ（９）＝１

を続けていくと

　　ｎが素数←→Ｗ（ｎ）＝０

に気づく．実際これは正しく，ウィルソンの定理「ｐが素数であるための必要十分条件は，（ｐ−１）！＋１はｐで割り切れることである」が成り立つ．

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【２】ウィルソンの定理と群

　Ｗ（７）＝０であるが，有限体Ｆ7＝｛１，２，３，４，５，６｝

　　２・４＝１　　（ｍｏｄ７）

　　３・５＝１　　（ｍｏｄ７）

　　　６＝−１　　（ｍｏｄ７）

より，６！＝−１

　　６！＋１＝０　（ｍｏｄ７）

　Ｗ（１９）＝０であるが，有限体Ｆ19＝｛１，２，３，４，・・・，１８｝

　　２・９＝−１　　（ｍｏｄ１９）

　　３・６＝−１　　（ｍｏｄ１９）

　　４・５＝１　　　（ｍｏｄ１９）

　　７・８＝−１　　　（ｍｏｄ１９）

１０＝−９，１１＝−８，１２＝−７，・・・，１８＝−１

より，１８！＝−１

　　１８！＋１＝０　（ｍｏｄ１９）

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