素数ｐの多くが２ｐ＋１も素数になるという性質を持っている．

　　５→１１→２３→４７

　この条件を（その１）（その２）とは異なった方向（シェルピンスキー数）に一般化してみたい．

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　より一般にはｐ，ｑがともに素数で，ｑ＝２^kｐ＋１（ｋ≧０）ならば，ｑはｐの候補者になる．

　　２→３→７→２９→５９→１８８９→３７７９→７５５９→・・・→１０３桁の数が候補者となる．

　ｑ＝２^kｐ＋１が絶対に素数とならないような奇整数ｐはシェルピンスキー数と呼ぶ．１９６０年，シェルピンスキーはそのような奇数ｐが無限に存在することを証明した．

　１９６２年，セルフリッジは７８５５７と２９１１２９がその具体例であることを示した．また，ｐ＝７８５５７のとき，ｑ＝２^kｐ＋１（ｋ≧０）の形をしたすべての数が３，５，７，１３，１９，３７，７３のいずれかの数で割り切れることを証明した．

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　１９６７年，シェルピンスキーとセルフリッジはｐ＝７８５５７が最小のシェルピンスキー数であると予想した．たとえば，ｐ＝３３６６１に対しては，ｋ＝７０３１２３２という２１１万桁以上の数が素数であることが証明され，ｐ＝３３６６１はシェルピンスキー数でないことが示された．

　現在ｐ＜７８５５７のすべての値に対してしらみつぶし探索が行われていて，シェルピンスキー数である可能性が残されているのはたった６つだけだそうである．

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