[4]sin(π/7)は
64x^6-112x^4+56x^2-7=0の根である.さらに,
sin(π/7),sin(3π/7),sin(5π/7)は,
64x^6-112x^4+56x^2-7=0
の3根となる.
[5]sin(π/7)は
32x^5-48x^3+14x-√7=0の根である.
sin(3π/7),sin(5π/7)は根ではない.
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後者について,阪本ひろむ氏より,5次方程式
32x^5-48x^3+14x-√7=0
は,
(-1+2√7x-4x^2)(-√7+4√7x^2+8x^3)=0
と因数分解され,xに関する高々3次方程式であるから,代数的に解くことができると報告があった.
代数解は割愛するが,その数値解は
x=0.228425,1.09445,0.433884,
-0.781831,-0.974928
sin(π/7)=0.433884
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