ｓｉｎπ／７＝ｘとおくと

　　１６ｘ^5−２４ｘ^3＋５ｘ−Ｓ＝０

　　ｘ（１６ｘ^4−２４ｘ^2＋５）−Ｓ＝０

　　ｘ（４ｘ^2−１）（４ｘ^2−５）＝Ｓ

は役立ちそうにないが，ｘは

　　３２ｘ^5−４８ｘ^3＋５ｘ−√７＝０

の解となる（はずである）．

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［１］ｃｏｓ（π／７）

　ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の解として得られます．

　　ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９

　すぐに思いつくのは７倍角の公式

　　ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5θ＋５６ｃｏｓ^3θ−７ｃｏｓθ

において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　６４ｘ^7−１１２ｘ^5＋５６ｘ^3−７ｘ＝−１

７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元させてみよう．

　θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝π，４θ＝π−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ

　前者は４次方程式

　　８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ

>後者は

　　８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^2θ＋３

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ−１

より３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着する．後者の方が方程式の次数が下がり，（ｎ−１）／２次方程式となることがおわかりいただけるであろう．

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