［１］ｎ次方程式ａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n＝０がｎ根

　　α1，α2，α3，・・・，αn

をもつならば

　　ａn（ｘ−α1）（ｘ−α2）・・・（ｘ−αn）＝０

　　ａn-1＝−ａn（α1＋α2＋α3＋・・・＋αn）

と表すことができる．

［２］同様にａ0＋ａ1ｘ＋ａ2ｘ^2＋・・・＋ａnｘ^n＝

　　ａ0（１−ｘ／α1）（１−ｘ／α2）・・・（１−ｘ／αn）＝０

　　ａ1＝−ａ0（１／α1＋１／α2＋１／α3＋・・・＋１／αn）

と表すことができる．

［３］２ｎ次方程式ｂ0−ｂ1ｘ^2＋ｂ2ｘ^4＋・・・＋（−１）^nｂnｘ^2n＝０が２ｎ根

　　±β1，±β2，±β3，・・・，±βn

をもつならば

　　ｂ0（１−ｘ^2／β1^2）（１−ｘ^2／β2^2）・・・（１−ｘ^2／βn^2）＝０

　　ｂ1＝ｂ0（１／β1^2＋１／β2^2＋１／β3^2＋・・・＋１／βn^2）

と表すことができる．

［４］ｓｉｎｘ＝０，すなわち，

　ｘ／１−ｘ^3／１・２・３＋ｘ^5／１・２・３・４・５−・・・＝０

の根はｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・

　ｓｉｎｘ／ｘ＝０，すなわち，

　１−ｘ^2／１・２・３＋ｘ^4／１・２・３・４・５−・・・＝０

の根はｘ＝±π，±２π，±３π，・・・

［５］ｓｉｎｘ／ｘ＝（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

１／１・２・３＝（１／π^2＋１／４π^2＋１／６π^2＋・・・）

［６］１／１＋１／４＋１／９＋１／１６＋・・・＝π^2／６

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　微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　その後，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

が示される．

　それでは，任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２

　＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２・・・・・

　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

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