以下の正項数列｛ａn｝，ａn＞０について，ｎ→∞としたときの

　　ｂn＝（ａ1＋ａn+1／ａn）^n

の極限を調べよ．

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［１］ａn＝１の場合，ｂn＝２^n→∞

［２］ａn＝ｎの場合，ｂn＝（１＋２／ｎ）^n→ｅ^2

［３］ａn＝ｎ^2の場合，ｂn＝（１＋２／ｎ・（ｎ＋１）／ｎ）^n→ｅ^2

［４］ａ1＝ｃ，ａn＝ｎの場合，

　　　ｂn＝（１＋（１＋ｃ）／ｎ）^n→ｅ^1+c

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　　ｂn＝（ａ1＋ａn+1^c／ａn^c）^n

［５］ａn＝ｎの場合

　　ｂn＝（１＋（ｎ＋１）^c／ｎ^c）^n

　　∞（０＜ｃ＜１），ｅ^2（ｃ＝１），ｅ^c（ｃ＞１）

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　実は

　　ｂn＝（ａ1＋ａn+1／ａn）^n

については

　　ｌｉｍ（ｓｕｐｂn）≧ｅ

が証明される．

　　ｌｉｍ（ｓｕｐ（ａ1＋ａn+1／ａn）^n）≧ｌｉｍ（１＋１／ｎ）^n

←→ｌｉｍｓｕｐ（ｎ（ａ1＋ａn+1）／（ｎ＋１）ａn）^n）≧１

　証明は割愛するが，もし，

　　ｌｉｍｓｕｐ（ｎ（ａ1＋ａn+1）／（ｎ＋１）ａn）^n）＜１

と仮定すると，矛盾を導き出すことができるのである．

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