ΣＲ1（ｎ）ｘ^n＝Σｘ^(n^2)＝１＋２ｘ＋２ｘ^4＋２ｘ^9＋・・・＝１＋２Ｉとすると

　　ΣＲ2（ｎ）ｘ^n＝（１＋２Ｉ）^2＝１＋４Ｊ，Ｊ＝Ｉ＋Ｉ^2

　　ΣＲ4（ｎ）ｘ^n＝（１＋４Ｊ）^2＝１＋８Ｋ，Ｋ＝Ｊ＋２Ｊ^2

　　ΣＲ8（ｎ）ｘ^n＝（１＋８Ｋ）^2＝１＋１６Ｌ，Ｌ＝Ｋ＋４Ｋ^2

の形となる．

　したがって，ｎ≧１のとき，Ｒ2（ｎ）は４で割り切れ，Ｒ4（ｎ）は８で割り切れ，Ｒ16（ｎ）は１６で割り切れる．

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　　ΣＳ1（ｎ）ｘ^n＝ｘ＋ｘ^9＋ｘ^25＋ｘ^49＋ｘ^81＋・・・

＝ｘ（１＋ｘ^8＋ｘ^24＋ｘ^48＋ｘ^80＋・・・）＝ｘＰ

Ｐはｎが８で割り切れないときｘ^nの係数が消えるようなべき級数を表す．

　Ｓ1（ｎ），Ｓ2（ｎ），Ｓ4（ｎ），Ｓ8（ｎ）の母関数はそれぞれ

　　ｘＰ，ｘ^2Ｐ^2，ｘ^4Ｐ^4，，ｘ^8Ｐ^8．

したがって，

［１］ｎ＝８ｍ＋２型でないとき，Ｓ2（ｎ）＝０

［２］ｎ＝８ｍ＋４型でないとき，Ｓ4（ｎ）＝０

［３］ｎ＝８ｍ型でないとき，Ｓ8（ｎ）＝０

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　また，

　　Ｒk+l（ｎ）＝Ｒk（０）Ｒl（ｎ）＋Ｒk（１）Ｒl（ｎ−１）＋・・・＋Ｒk（ｎ）Ｒl（０）

　　Ｓk+l（ｎ）＝Ｓk（１）Ｓl（ｎ−１）＋Ｓk（２）Ｓl（ｎ−２）＋・・・＋Ｓk（ｎ−１）Ｓl（１）

が成り立つ．

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