多面体における面角の総和をΣαで表すことにすると,
Σα=2πV-4π
いかなる多面体においても,辺数が6より小さい面がひとつは存在しなければならないことを証明せよ.
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(証)n本の辺をもつ面角の平均は,n≧6ならば
(n-2)π/n=(1-2/n)π≧2π/3
もしすべての面が6本以上の辺をもつならば,すべての面閣の平均は≧2π/3・・・(その290)に矛盾する.
(別証)12=6F-2E+6V-4E≦6F-2E=Σ(6-n)Fn
12≦3F3+2F4+F5
D3,F4,F5の少なくともひとつは正でなければならない.
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