多面体における面角の総和をΣαで表すことにすると，

　　Σα＝２πＶ−４π

　いかなる多面体においても，辺数が６より小さい面がひとつは存在しなければならないことを証明せよ．

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（証）ｎ本の辺をもつ面角の平均は，ｎ≧６ならば

　　（ｎ−２）π／ｎ＝（１−２／ｎ）π≧２π／３

もしすべての面が６本以上の辺をもつならば，すべての面閣の平均は≧２π／３・・・（その２９０）に矛盾する．

（別証）１２＝６Ｆ−２Ｅ＋６Ｖ−４Ｅ≦６Ｆ−２Ｅ＝Σ（６−ｎ）Ｆn

　　１２≦３Ｆ3＋２Ｆ4＋Ｆ5

　　Ｄ3，Ｆ4，Ｆ5の少なくともひとつは正でなければならない．

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