多面体における面角の総和をΣαで表すことにすると，

　　Σα＝２πＶ－４π

　面角の平均は決してπ／３より小さくないが，常に２π／３より小さくないことを証明せよ．

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（証）（ｎ－２）π／ｎ＝（１－２／ｎ）π≧π／３

　また，頂点を共有する面角の和は＜２π，その個数は≧３であるから，平均は＜２π／３

（別証）Σα／２Ｅ＝２π（Ｅ－Ｆ）／２Ｅ＝π（１－Ｆ／Ｅ）

　ここで，２Ｅ＝ΣｎＦn≧３ΣＦn＝３Ｆより，

　Σα／２Ｅ＝π（１－Ｆ／Ｅ）≧π／３

Σα／２Ｅ＝２π（Ｖ－２）／２Ｅ＝π（Ｖ／Ｅ－２／Ｅ）

　ここで，２Ｅ＝ΣｎＶn≧３ΣＶn＝３Ｖより，

Σα／２Ｅ＝π（Ｖ／Ｅ－２／Ｅ）＜２π／３

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