１＋２ｘ＋３ｘ^2＋４ｘ^3＋・・・＝（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・）^2＝１／（１−ｘ）^2

１＋３ｘ＋６ｘ^2＋１０ｘ^3＋・・・＝（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・）^3＝１／（１−ｘ）^3

１＋４ｘ＋１０ｘ^2＋２０ｘ^3＋・・・＝（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・）^4＝１／（１−ｘ）^4

　一般に

（ｒ，ｒ）＋（ｒ＋１，ｒ）ｘ＋（ｒ＋２，ｒ）ｘ^2＋・・・＋（ｒ＋ｎ，ｒ）ｘ^n＋・・・＝（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・）^r+1＝１／（１−ｘ）^r+1

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　ｎ＝０，すなわち，第０項から始まるものとして

　　（ｒ＋ｎ，ｒ）ｘ^n＋（ｒ＋ｎ＋１，ｒ）ｘ^n+1＋・・・

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=(r+n+1)*x/(n+1)

であるから，ａ0*1Ｆ0(r+1;x)，また，ａ0=1より

　　1Ｆ0(r+1;x)

　鈴鹿高専・電子情報工学科の奥井重彦先生より頂戴した

　　「超幾何関数の公式集(Tables of Hypergeometric Functions)」

によると

　　1Ｆ0(1;x)=1/(1-x)

　　1Ｆ0(2;x)=1/(1-x)^2

　　1Ｆ0(3;x)=1/(1-x)^3

　　1Ｆ0(n;x)=1/(1-x)^n

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