グレゴリー・ライプニッツ級数

　　１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・＝π／４

を超幾何関数で表してみたい．

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　ｒ＝０，すなわち，第０項から始まるものとして

　　ｘ^n／（２ｎ＋１）−ｘ^n+1／（２ｎ＋３）＋・・・

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘ^n+1/ａnｘ^n=-(n+1)(2n+1)/(2n+3)*x/(n+1)

であるから，ａ0*2Ｆ1(1,1/2;3/2;-1)，また，ａ0=1より

　　2Ｆ1(1,1/2;3/2;-1)

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　鈴鹿高専・電子情報工学科の奥井重彦先生より頂戴した

　　「超幾何関数の公式集(Tables of Hypergeometric Functions)」

によると

　　2Ｆ1(1,1/2;3/2;x^2)=1/x･arctanh(x)

　　2Ｆ1(1,1/2;3/2;-x^2)=1/x･arctan(x)

であるから，

　　2Ｆ1(1,1/2;3/2;-1)=arctan(1)＝π／４

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