［Ｑ］３辺の長さｘ，ｙ，ｚが整数でかつ長さの平方ｘ^2，ｙ^2，ｚ^2が等比数列をなす三角形は？

　ここでは，３つの平方数の和ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2は決して素数ではあり得ないことを示しておきたい．

　　ｘ：ｙ：ｚ＝１：ｍ／ｎ：（ｍ／ｎ）^2

　　ｙ＝ｍ／ｎ・ｘ，ｚ＝（ｍ／ｎ）^2・ｘ

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｘ^2（１＋（ｍ／ｎ）^2＋（ｍ／ｎ）^4）＝ｘ^2／ｎ^4（ｍ^4＋ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4）

　　ｍ^4＋ｍ^2ｎ^2＋ｎ^4＝（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）（ｍ^2−ｍｎ＋ｎ^2）

この数が素数ｐであり得るのは

　　ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2＝ｐ，ｍ^2−ｍｎ＋ｎ^2＝１

のときに限られるが，必然的に

　　２（ｍ^2＋ｎ^2）＝ｐ＋１，２ｍｎ＝ｐ−１

　　（ｍ−ｎ）^2＝（ｐ＋１）／２−ｐ＋１＝（−ｐ＋３）／２→ｐ＝３

　　ｍ＝ｎ＝１，ｐ＝３

となってしまう．

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