ここではｘ^2＋２の素因数の性質をみていくことにする．とりあえず，０≦ｘ≦１０の範囲で調べると・・・

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［１］ｘ＝１，ｘ^2＋２＝３

［２］ｘ＝２，ｘ^2＋２＝６＝２・３

［３］ｘ＝３，ｘ^2＋２＝１１

［４］ｘ＝４，ｘ^2＋２＝１８＝２・３^2

［５］ｘ＝５，ｘ^2＋２＝２７７＝３^3

［６］ｘ＝６，ｘ^2＋２＝３８＝２・１９

［７］ｘ＝７，ｘ^2＋２＝５１＝３・１７

［８］ｘ＝８，ｘ^2＋２＝６６＝２・３・１１

［９］ｘ＝９，ｘ^2＋２＝８３

［10］ｘ＝10，ｘ^2＋２＝１０２＝２・３・１７

　素因数をまとめると

　　２，３，１１，１７，１９，８３

８で割った余りは

　　２，３，３，１，３，３

奇数の素因数に限ると，すべて８で割った余りが１または３になる．

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　ｐを２^n＋１（ｎは奇数）の素因数とすると，

　　２（２^n＋１）＝２^n+1＋２

の素因数であるが，ｎは奇数だから

　　２^n+1＋２＝（２^(n+1)/2）^2＋２

の素因数である．ｘ＝２^(n+1)/2とおくと，ｐはｘ^2＋２の素因数となる．

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