素数をわたる無限積

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝４／３・９／８・２５／２４・４９／４８・・・＝π^2／６

が成り立つ．

　なぜならば，オイラー積より

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）＝π^2／６＝ζ（２）

　ついでながら，すべての素数をわたる無限積

［１］　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

［２］　Π（ｐ^4＋１）／（ｐ^4−１）＝７／６

［３］　Π（ｐ^2m＋１）／（ｐ^2m−１）＝（有理数）

が成り立つ．

　一見ありえない数値のように思われるが，この証明はやさしい．

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［１］の（証）

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2

　＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

　ここで，ゼータ関数のオイラー積は

　　ζ（ｓ）＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・

＝（１＋１／２^s＋１／４^s＋１／８^s＋・・・）（１＋１／３^s＋１／９^s＋・・・）（１＋１／５^s＋・・・）・・・

<P />＝１／（１−２^-s）・１／（１−３^-s）・１／（１−５^-s）・１／（１−７^-s）・・・

＝Π（１−ｐ^-s）^-1　　　（但し，ｐはすべての素数を動く．）

より，

　　ζ（２）＝Π（１−１／ｐ^2）^-1＝π^2／６

　　ζ（４）＝Π（１−１／ｐ^4）^-1＝π^4／９０

と表される．

　したがって，

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2

　＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

　＝ζ（２）^2／ζ（４）＝９０／３６＝５／２

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［２］の（証）

　　Π（ｐ^4＋１）／（ｐ^4−１）＝Π（ｐ^8−１）／（ｐ^4−１）^2

　＝Π（１−１／ｐ^8）／（１−１／ｐ^4）^2

　＝ζ（４）^2／ζ（８）＝（π^4／９０）^2／（π^8／９４５０）＝９４５／８１０＝７／６

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