対辺の長さも２ｂにすることを考える→等面四面体．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ａ（０，０，ｂ）

　　Ｂ（０，０，−ｂ）

　　Ｃ（０，ｈ，０）

　　Ｄ（ｘ，ｙ，０）

　　Ｅ（−ｘ，ｙ，０）

　　Ｆ（α，β，γ）

ｈ^2＋ｂ^2＝１

ＡＣ^2＝ｈ^2＋ｂ^2＝１

ＡＤ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｂ^2＝１

ＣＤ^2＝ｘ^2＋（ｙ−ｈ）^2＝１　→４ｂ^2

ｘ^2＋ｙ^2−２ｙｈ＋ｈ^2＝４ｂ^2

１−ｂ^2−２ｙｈ＋ｈ^2＝４ｂ^2

ｘ^2＋ｙ^2＝ｈ^2

ｙ＝（ｈ^2＋１−５ｂ^2）／２ｈ＝（３ｈ^2−２）／ｈ

ｙ^2＝（３ｈ^2−２）^2／ｈ^2

ｘ^2＝ｈ^2−ｙ^2

−ｂ^2＝ｘ^2＋ｙ^2−１

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　Ｆ（α，β，γ）の計算は以下の通りである．

　Ｂから△ＡＣＤに下ろした垂心Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）を求めなければならない．二等辺三角形を底面としてその高さをＨとすると

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＋（１−ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝（１−ｂ^2）^1/2

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）＋（１−ｂ^2−Ｈ^2）＋２（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（１−ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝１−ｂ^2

　　（２ｂ^2−Ｈ^2）＋（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（１−ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝０

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）（１−ｂ^2−Ｈ^2）＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　４ｂ^2（１−ｂ^2）−４ｂ^2Ｈ^2−（１−ｂ^2）Ｈ^2＋Ｈ^4＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　４ｂ^2（１−ｂ^2）−（１−ｂ^2）Ｈ^2＝４ｂ^4，４ｂ^2−８ｂ^4＝（１−ｂ^2）Ｈ^2

　　Ｈ^2＝（４ｂ^2−８ｂ^4）／（１−ｂ^2）

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝２ｂ^2／（１−ｂ^2）^1/2

　ＨはＡとＣＤの中点を結んだ直線上でＡから２ｂ^2／（１−ｂ^2）^1/2の距離にある．

ｂ＝１／２のとき，√３／３であるからＯＫ．

　　Ａ（０，０，ｂ）

　　Ｂ（０，０，−ｂ）

　　Ｃ（０，ｈ，０）

　　Ｄ（ｘ，ｙ，０）

　　Ｍ（ｘ／２，（ｙ＋ｈ）／２，０）

　　ＡＭ（ｘ／２，（ｙ＋ｈ）／２，−ｂ）

　　（Ｘ）／（ｘ／２）＝Ｙ／（ｙ＋ｈ）／２＝（Ｚ−ｂ）／（−ｂ）＝ｋ

ｋ＝２ｂ^2／（１−ｂ^2）^1/2／（１−ｂ^2）^1/2＝２ｂ^2／（１−ｂ^2）より，Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が求められる．

Ｆ（α，β，γ）はＢ＋２ＢＨで与えられる．

ＢＨ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ＋ｂ）

２ＢＨ＝（２Ｘ，２Ｙ，２Ｚ＋２ｂ）

Ｂ＋２ＢＨ＝（２Ｘ，２Ｙ，２Ｚ＋ｂ）＝Ｆ（α，β，γ）

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　対辺の長さも２ｂにすることを考える→等面四面体．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ａ（０，０，ｂ）

　　Ｂ（０，０，−ｂ）

　　Ｃ（０，ｈ，０）

　　Ｄ（ｘ，ｙ，０）

　　Ｅ（−ｘ，ｙ，０）

　　Ｆ（α，β，γ）

ｈ^2＋ｂ^2＝１

ＡＣ^2＝ｈ^2＋ｂ^2＝１

ＡＤ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｂ^2＝１

ＣＤ^2＝ｘ^2＋（ｙ−ｈ）^2＝１→ｂ^2

ｘ^2＋ｙ^2−２ｙｈ＋ｈ^2＝ｂ^2

１−ｂ^2−２ｙｈ＋ｈ^2＝ｂ^2

ｘ^2＋ｙ^2＝ｈ^2

ｂ^2＝−２ｈｙ＋ｈ^2

ｙ＝（ｈ^2＋１−２ｂ^2）／２ｈ＝（３ｈ^2−１）／２ｈ

ｙ^2＝（３ｈ^2−１）^2／４ｈ^2

ｘ^2＝ｈ^2−ｙ^2

−ｂ^2＝ｘ^2＋ｙ^2−１

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　Ｆ（α，β，γ）の計算は以下の通りである．

　Ｂから△ＡＣＤに下ろした垂心Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）を求めなければならない．二等辺三角形を底面としてその高さをＨとすると

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＋（１−ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝（１−ｂ^2）^1/2

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）＋（１−ｂ^2−Ｈ^2）＋２（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（１−ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝１−ｂ^2

　　（２ｂ^2−Ｈ^2）＋（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2（１−ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝０

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）（１−ｂ^2−Ｈ^2）＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　４ｂ^2（１−ｂ^2）−４ｂ^2Ｈ^2−（１−ｂ^2）Ｈ^2＋Ｈ^4＝Ｈ^4−４ｂ^2Ｈ^2＋４ｂ^4

　　４ｂ^2（１−ｂ^2）−（１−ｂ^2）Ｈ^2＝４ｂ^4，４ｂ^2−８ｂ^4＝（１−ｂ^2）Ｈ^2

　　Ｈ^2＝（４ｂ^2−８ｂ^4）／（１−ｂ^2）

　　（４ｂ^2−Ｈ^2）^1/2＝２ｂ^2／（１−ｂ^2）^1/2

　ＨはＡとＣＤの中点を結んだ直線上でＡから２ｂ^2／（１−ｂ^2）^1/2の距離にある．

ｂ＝１／２のとき，√３／３であるからＯＫ．

　　Ａ（０，０，ｂ）

　　Ｂ（０，０，−ｂ）

　　Ｃ（０，ｈ，０）

　　Ｄ（ｘ，ｙ，０）

　　Ｍ（ｘ／２，（ｙ＋ｈ）／２，０）

　　ＡＭ（ｘ／２，（ｙ＋ｈ）／２，−ｂ）

　　（Ｘ）／（ｘ／２）＝Ｙ／（ｙ＋ｈ）／２＝（Ｚ−ｂ）／（−ｂ）＝ｋ

ｋ＝２ｂ^2／（１−ｂ^2）^1/2／（１−ｂ^2）^1/2＝２ｂ^2／（１−ｂ^2）より，Ｈ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）が求められる．

Ｆ（α，β，γ）はＢ＋２ＢＨで与えられる．

ＢＨ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ＋ｂ）

２ＢＨ＝（２Ｘ，２Ｙ，２Ｚ＋２ｂ）

Ｂ＋２ＢＨ＝（２Ｘ，２Ｙ，２Ｚ＋ｂ）＝Ｆ（α，β，γ）

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