Ｓ1＝１＋２　　　　＋３＋・・・＋（ｎ−２）＋（ｎ−３）＋ｎ

　　Ｓ1＝ｎ＋（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋３＋　　　＋２　　　　＋１より，

　２Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）

が得られる．

　それでは

　　Ｓ2＝１＋４＋９＋・・・＋ｎ^2＝？

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　　（ｎ＋１）^3−ｎ^3＝３ｎ^2＋３ｎ＋１

より，

　　（ｎ＋１）^3−１＝３Ｓ2＋３Ｓ1＋ｎ

　Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２を代入して整理すると

　　２（ｎ^3＋３ｎ^2＋３ｎ）＝６Ｓ2＋３ｎ^2＋３ｎ＋２ｎ

　　Ｓ2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

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　　（ｎ＋１）^4−ｎ^4＝４ｎ^3＋６ｎ^2＋４ｎ＋１

より，

　　（ｎ＋１）^4−１＝４Ｓ23＋６Ｓ2＋４Ｓ1＋ｎ

　Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２，Ｓ2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６を代入して整理すると

　　４Ｓ3＝６Ｓ2＋３ｎ^2＋３ｎ＋２ｎ

　　Ｓ2＝ｎ^2（ｎ＋１）^2

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　　（ｎ＋１）^2−ｎ^2＝２ｎ＋１

より，

　　（ｎ＋１）^2−１＝２Ｓ1＋ｎ

これより，

　Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２

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