■ファウルハーバーの定理（その５）

　　Ｓ1＝１＋２　　　　＋３＋・・・＋（ｎ－２）＋（ｎ－３）＋ｎ

　　Ｓ1＝ｎ＋（ｎ－１）＋（ｎ－２）＋３＋　　　＋２　　　　＋１より，

　２Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）

が得られる．

　それでは

　　Ｓ2＝１＋４＋９＋・・・＋ｎ^2＝？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　（ｎ＋１）^3－ｎ^3＝３ｎ^2＋３ｎ＋１

より，

　　（ｎ＋１）^3－１＝３Ｓ2＋３Ｓ1＋ｎ

　Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２を代入して整理すると

　　２（ｎ^3＋３ｎ^2＋３ｎ）＝６Ｓ2＋３ｎ^2＋３ｎ＋２ｎ

　　Ｓ2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　（ｎ＋１）^4－ｎ^4＝４ｎ^3＋６ｎ^2＋４ｎ＋１

より，

　　（ｎ＋１）^4－１＝４Ｓ23＋６Ｓ2＋４Ｓ1＋ｎ

　Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２，Ｓ2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６を代入して整理すると

　　４Ｓ3＝６Ｓ2＋３ｎ^2＋３ｎ＋２ｎ

　　Ｓ2＝ｎ^2（ｎ＋１）^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　（ｎ＋１）^2－ｎ^2＝２ｎ＋１

より，

　　（ｎ＋１）^2－１＝２Ｓ1＋ｎ

これより，

　Ｓ1＝ｎ（ｎ＋１）／２

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝