ｘｙ平面への投影を考えて，ｚ軸方向からみて頂点が載る同心円の中心を求める．

　ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＤより，

Ｙ^2＋ｂ^2ｓ^2＝（Ｙ−ｈ）^2＝（Ｙ−ｙ）^2＋ｘ^2ｃ^2

Ｙ^2＋ｂ^2ｓ^2＝Ｙ^2−２ｙＹ＋ｙ^2＋ｘ^2ｃ^2＝Ｙ^2−２ｈＹ＋ｈ^2

２ｙＹ＝ｙ^2＋ｘ^2ｃ^2−ｂ^2ｓ^2

２ｈＹ＝ｈ^2−ｂ^2ｓ^2

ｈ（ｙ^2＋ｘ^2ｃ^2−ｂ^2ｓ^2）＝ｙ（ｈ^2−ｂ^2ｓ^2）

ｈ（ｙ^2＋ｘ^2−ｘ^2ｓ^2−ｂ^2ｓ^2）＝ｙ（ｈ^2−ｂ^2ｓ^2）

（−ｈｘ^2−ｈｂ^2＋ｙｂ^2）ｓ^2＝ｙｈ^2−ｈ（ｘ^2＋ｙ^2）

ｈ^2＋ｂ^2＝１

ｘ^2＋ｙ^2＝ｈ^2

ｂ^2＝−２ｈｙ＋ｈ^2

ｙ＝（ｈ^2−ｂ^2）／２ｈ＝（２ｈ^2−１）／２ｈ

ｙ^2＝（２ｈ^2−１）^2／４ｈ^2

ｘ^2＝ｈ^2−ｙ^2

−ｂ^2＝ｘ^2＋ｙ^2−１

を代入すると

ｙ−ｈ＝−１／２ｈ

（−ｈｘ^2＋（ｙ−ｈ）ｂ^2）ｓ^2＝ｙｈ^2−ｈ（ｘ^2＋ｙ^2）＝ｈ^2（ｙ−ｈ）

（−ｈｘ^2−ｂ^2／２ｈ）ｓ^2＝−ｈ／２

ｓ^2＝−１／２（−ｘ^2−ｂ^2／２ｈ^2）

ｙ／ｈ−１＝−１／２ｈ^2より

ｓ^2＝−１／２｛（ｙ／ｈ−１）ｂ^2−ｘ^2｝

Ｙ＝（ｈ^2−ｂ^2ｓ^2）／２ｈ

これより，ｓ^2，ｃ^2，Ｙは求められる．

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　　Ａ（−ｂｓ，−Ｙ，ｂｃ）

　　Ｂ（ｂｓ，−Ｙ，ｂｃ）

　　Ｃ（０，ｈ−Ｙ，０）

　　Ｄ（ｃｘ，ｙ−Ｙ，ｓｘ）

　　Ｅ（−ｃｘ，ｙ−Ｙ，−ｓｘ）

　　Ｆ（αｃ−γｓ，β−Ｙ，αｓ＋γｃ）

　　Ｇ（ξｃ−ζｓ，η−Ｙ，ξｓ＋ζｃ）

　　Ｏ（０，０，０）として，

ｃｏｓ（∠ＡＯＣ）＝ｃｏｓ（∠ＡＯＤ）を求めればよい．

ｃｏｓ（∠ＡＯＣ）＝−Ｙ（ｈ−Ｙ）／（ｂ^2ｓ^2＋Ｙ^2）^1/2・（ｈ−Ｙ）

＝−Ｙ／（ｂ^2ｓ^2＋Ｙ^2）^1/2

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［まとめ］４頂点が投影面の上で同心円に載ることは保証されているが，そこに５番目の頂点が載るという条件にはなっていない．正四面体の場合は５番目の頂点も同心円に載ることが確認されている．

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