（ａ＋ｂ√２）（ａ’＋ｂ’√２）

＝ａａ’＋ａｂ’√２＋ｂａ’√２＋２ｂｂ’

＝（ａａ’＋２ｂｂ’）＋（ａｂ’＋ｂａ’）√２

　たとえば，１＋３√２の逆数１／（１＋３√２）は分母の有理化をすれば計算できるのですが，上式を用いると（ａ＝１，ｂ＝３）

　　ａ’＋６ｂ’＝１

　　ｂ’＋３ａ’＝０

　　ａ’＝−１／１７，ｂ’＝３／１７

より，

　　（−１＋３√２）／１７

が得られます．

　もちろん，分母の有理化でも同じ結果が得られます．

１／（１＋３√２）＝（１−３√２）／（１＋３√２）（１−３√２）

＝−（１−３√２）／１７

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　Ｑ（3√２）の場合は，少し複雑になりますが

　（ａ＋ｂ3√２＋ｃ（3√２）^2）（ａ’＋ｂ’3√２＋ｃ’（3√２）^2）

＝ａａ’＋（ａｂ’＋ｂａ’）3√２＋（ａｃ’＋ｂｂ’＋ｃａ’）（3√２）^2＋（ｂｃ’＋ｃｂ’）（3√２）^3＋ｃｃ’（3√２）^4

＝（ａａ’＋２ｂｃ’＋２ｃｂ’）＋（ａｂ’＋ｂａ’＋２ｃｃ’）3√２＋（ａｃ’＋ｂｂ’＋ｃａ’）（3√２）^2

　たとえば，２＋3√２＋３（3√２）^2の逆数は，上式を用いるて（ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝３）より

　　２ａ’＋６ｂ’＋２ｃ’＝１

　　ａ’＋２ｂ’＋６ｃ’＝０

　　３ａ’＋ｂ’＋２ｃ’＝０

　　ａ’＝−２／８２，ｂ’＝１６／８２，ｃ’＝−５／８２

より，

　　（−２＋１６3√２−５＋（3√２）^2）／８２

となります．

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