凸でなく，凹らせん（ＣＡ→ＡＤ→ＤＦ）をたどる方法が正しいものと考えられる．

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　１辺の長さが１の正四面体の高さは√（２／３）＝√６／３であるから

　　Ａ（０，０，１／２）

　　Ｂ（０，０，−１／２）

　　Ｃ（０，√３／２，０）

　　Ｄ（√６／３，√３／６，０）

　　Ｅ（−√６／３，√３／６，０）

　　Ｆ（α，β，γ）

　　Ｇ（ξ，η，ζ）

　△ＡＣＤの重心Ｈは

　　Ｈ（√（２／３）／３，２√３／９，１／６）

Ｆ（α，β，γ）はＢ＋２ＢＨで与えられる．

ＢＨ＝（√（２／３）／３，２√３／９，１／６＋１／２）

＝（√６／９，２√３／９，６／９）

２ＢＨ＝（２√６／９，４√３／９，１２／９）

Ｂ＋２ＢＨ＝（２√６／９，４√３／９，５／６）＝Ｆ（α，β，γ）

　ｙ軸の回りに回転させると

　　Ａ（−ｓ／２，０，ｃ／２）

　　Ｂ（ｓ／２，０，−ｃ／２）

　　Ｃ（０，√３／２，０）

　　Ｄ（ｃ√６／３，√３／６，ｓ√６／３）

　　Ｅ（−ｃ√６／３，√３／６，−ｓ√６／３）

　　Ｆ（αｃ−γｓ，β，αｓ＋γｃ）

　　Ｇ（ξｃ−ζｓ，η，ξｓ＋ζｃ）

　　Ｏ（０，ｙ，０）

　投影図上で，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＤとなるＯを求めたい（同一円周の中心）．

　　ｓ^2／４＋ｙ^2＝（ｙ−√３／２）^2＝６ｃ^2／９＋（ｙ−√３／６）^2

　　ｓ^2／４＋ｙ^2＝ｙ^2−√３ｙ＋３／４＝２ｃ^2／３＋ｙ^2−ｙ√３／３＋１／１２

−√３ｙ＝ｓ^2／４−３／４

−√３ｙ／３＝ｓ^2／４−２ｃ^2／３−１／１２

後者を３倍して前者から引くと

−√３ｙ＝３ｓ^2／４−２ｃ^2−１／４

−ｓ^2／２−１／２＋２ｃ^2＝０

−ｓ^2−１＋４ｃ^2＝０

−（１−ｃ^2）−１＋４ｃ^2＝０

５ｃ^2−２＝０，ｃ^2＝２／５，ｓ^2＝３／５，ｙ＝３／５√３＝√３／５

ｓ^2／４＋ｙ^2＝３／２０＋３／２５＝２７／１００

　　Ａ（−ｓ／２，−ｙ，ｃ／２）

　　Ｂ（ｓ／２，−ｙ，−ｃ／２）

　　Ｃ（０，√３／２−ｙ，０）

　　Ｄ（ｃ√６／３，√３／６−ｙ，ｓ√６／３）

　　Ｅ（−ｃ√６／３，√３／６−ｙ，−ｓ√６／３）

　　Ｆ（αｃ−γｓ，β−ｙ，αｓ＋γｃ）

　　Ｇ（ξｃ−ζｓ，η−ｙ，ξｓ＋ζｃ）

　　Ｏ（０，０，０）

ｃｏｓ（∠ＡＯＣ）＝−ｙ／（ｓ^2／４＋ｙ^2）^1/2

＝−（√３／５）／（２７／１００）^1/2

＝−（√３／５）／（３√３／１０）

＝−２／３

ｃｏｓ（∠ＡＯＤ）＝｛−ｓｃ√６／６−ｙ（√３／６−ｙ）｝／（ｓ^2／４＋ｙ^2）

＝｛−√６／５・√６／６＋√３／５・√３／３０｝／（２７／１００）

＝（−１／５＋１／５０）／（２７／１００）

＝−９／５０／（２７／１００）＝−２／３

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［まとめ］これで凹らせんであることが確認された．

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