正四面体らせんのねじれ角は１３１．８１°であるが，２：√３：√３の二等辺三角形４枚からなる空間充填等面四面体（Sommerville）のねじれ角は消失し，０°になってしまう．

　ここで，空間充填性の条件を除いて，ねじれ角が黄金角１３７．５°となる等面四面体を設計してみたい．

　正三角形のうち１辺だけを長くするとなじれ角は小さくなるから，１辺だけを短くするとよいことはわかるが，正三角形でなくなると（その２）（その３）の方法が使えなくなってしまう．さてどうするか？

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ｃｏｓ（∠ＣＯＤ）＝ｃｏｓ（∠ＢＯＣ）＝ｃｏｓ（∠ＡＯＢ）＝ｃｏｓ（∠ＤＯＥ）＝ｃ

　θ＝π＋ａｒｃｔａｎ（（１−ｃ^2）／ｃ）＝２π／（１＋φ）

　ａｒｃｔａｎ（（１−ｃ^2）／ｃ）＝２π／（１＋φ）−π＝（１−φ）π／（１＋φ）

　（１−ｃ^2）／ｃ＝ｔａｎ｛（１−φ）π／（１＋φ）｝

　念のため，右辺を約−１とおくと

　　１−ｃ^2＝−ｃ，　　ｃ^2＝ｃ＋１

ｃ＝−２／３はそれほどかけ離れた解ではない．

　次に，５点が同一円周上にあるような等面四面体を求めなければならない．等面四面体の相対する辺の中点を結ぶ３直線は直交する＝直方体に埋め込まれる．また，

　ＡＤ＝ＢＣ＝ａで，直交する

　ＡＢ＝ＡＣ＝ＤＢ＝ＤＣ＝ｂ

とする．（ａ＜ｂ，ｂ＝１としても一般性は失われない）．

　投影面上の座標を，ｘ，ｙ，ｚ＞０として

　　Ａ（ｘ1，−ｙ1，ｚ1）

　　Ｄ（−ｘ1，−ｙ1，−ｚ1）

　　Ｃ（ｘ2，ｙ2，−ｚ2）

　　Ｂ（−ｘ2，ｙ2，ｚ2）

　　Ｏ（０，０，０），外接球の中心＝重心

　ｘ1^2＋ｙ1^2＋ｚ1^2＝ｘ2^2＋ｙ2^2＋ｚ2^2＝Ｒ^2

　４ｘ1^2＋４ｚ1^2＝４ｘ2^2＋４ｚ2^2＝ａ^2

　（ｘ1＋ｘ2）^2＋（ｙ1＋ｙ2）^2＋（ｚ1−ｚ2）^2＝（ｘ1−ｘ2）^2＋（ｙ1＋ｙ2）^2＋（ｚ1＋ｚ2）^2＝ｂ^2＝１

　　Ｒ^2＋ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2−ｚ1ｚ2＝Ｒ^2−ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2＋ｚ1ｚ2＝ｂ^2／２

　　ｘ1ｘ2＝ｚ1ｚ2

　ここで，ｃｏｓ（∠ＣＯＤ）＝ｃｏｓ（∠ＢＯＣ）＝ｃｏｓ（∠ＡＯＢ）＝ｃｏｓ（∠ＤＯＥ）＝ｃ

　　Ａ’（ｘ1，−ｙ1）

　　Ｄ’（−ｘ1，−ｙ1）

　　Ｃ’（ｘ2，ｙ2）

　　Ｂ’（−ｘ2，ｙ2）

　　Ｏ’（０，０）

（−ｘ1ｘ2−ｙ1ｙ2）／（ｘ1^2＋ｙ1^2）1/2（ｘ2^2＋ｙ2^2）1/2

＝（−ｘ2^2＋ｙ2^2）／（ｘ2^2＋ｙ2^2）＝ｃ

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