正四面体の面と面を接合して正三角形面からなる捻れた柱を作ることができる．正四面体を１個接合させる毎に面数は２，辺数は３，頂点数は１増えるから，ｋ連結体では

　　面数：２ｋ＋２，辺数：３ｋ＋３，頂点数：ｋ＋３

で与えられる．それでは，この立体らせんのねじれ角は？

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　正四面体の２組の相対する辺はねじれの位置にあり，その中点を結ぶ直線はこれらの辺に直交する．まず，中点間距離を求めてみたい．

　辺の長さ１の正四面体の頂点座標を

　　（−１／２，−√３／６，−√６／１２）

　　（１／２，−√３／６，−√６／１２）

　　（０，√３／３，−√６／１２）

　　（０，０，√６／４）

にとる．

　対辺の中点は

　　（０，−√３／６，−√６／１２）

　　（０，√３／６，√６／１２）

その距離は

　　｛（√３／３）^2＋（√６／６）^2｝^1/2＝１／√２

　対辺の中点を結ぶ直線をｘ軸として，正四面体の４頂点を

　　Ａ（１／２√２，０，−１／２）

　　Ｄ（１／２√２，０，１／２）

　　Ｃ（−１／２√２，１／２，０）

　　Ｂ（−１／２√２，−１／２，０）

にとることができるが，

　　ＡＤ（０，０，１）

　　ＡＢ（−１／√２，−１／２，１／２）

　　ＡＣ（−１／√２，１／２，１／２）

の重心

　　ＡＧ（−２／３√２，０，２／３）

を２倍伸張した点Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）の座標は

　　Ａ＋２ＡＧ＝（１／２√２，０，−１／２）＋２（−２／３√２，０，２／３）＝（−５／６√２，０，５／６）

　これをｘ軸周りにθだけ回転させて，５点が同一円周上にあるような投影方向を求めなければならない．ｃ＝ｃｏｓθ，ｓ＝ｓｉｎθ

　　Ａ（１／２√２，ｓ／２，−ｃ／２）

　　Ｄ（１／２√２，−ｓ／２，ｃ／２）

　　Ｃ（−１／２√２，ｃ／２，ｓ／２）

　　Ｂ（−１／２√２，−ｃ／２，−ｓ／２）

　　Ｅ（−５／６√２，−５ｓ／６，５ｃ／６）

　　Ｏ（ｘ，０，０）

　（ｘ−１／２√２）^2＋ｓ^2／４＝（ｘ＋１／２√２）^2＋ｃ^2／４＝（ｘ＋５／６√２）^2＋ｓ^2・（５／６）^2

　ｘ^2−ｘ／√２＋１／８＋ｓ^2／４

＝ｘ^2＋ｘ／√２＋１／８＋１／４−ｓ^2／４

＝ｘ^2＋５ｘ／３√２＋２５／７２＋２５ｓ^2／３６

２ｘ／√２＋１／４−ｓ^2／２＝０

８ｘ／３√２＋２／９＋４ｓ^2／９＝０

８ｘ／３√２＋１／３−２ｓ^2／３＝０

１／９−１０ｓ^2／９＝０，ｓ^2＝１／１０，ｃ^2＝９／１０

ｘ√２＋１／４−１／２０＝０→ｘ＝−１／５√２

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