１８６２年，ウォルステンホルムは

　　（２ｐ−１，ｐ−１）＝１　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

を証明しました．これは（ｍｏｄ　ｐ^3）合同式ですが，モーリーの合同式

　　（−１）^(p-1)/2（ｐ−１，（ｐ−１）／２＝４^(p-1)　　　（ｍｏｄ　ｐ^3）

も同様です．ここでは４次以上のベキに拡張してみます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】二項係数の整除性

［１］リュカの定理（１８７２年）

ｐを素数，０≦ｑ＜ｐ，０≦ｒ＜ｐとする．

（ｐｎ＋ｑ，ｐｋ＋ｒ）＝（ｎ，ｋ）（ｑ，ｒ）　ｍｏｄ　ｐ

［２］ヤコブスタール（１９５２年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｐｎ＋ｑ，ｐｋ＋ｒ）−（ｎ，ｋ）＝０　ｍｏｄ　ｐ^3

［３］クペルベルグ（１９９９年）

ｐを素数，（２ｐ，ｐ）＝（２，１）＝０　ｍｏｄ　ｐ^4とする

（ｐｎ，ｐｋ）＝（ｎ，ｋ）　ｍｏｄ　ｐ^4

［４］シュワルツ（１９５９年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｐ^2，ｐ）＝（ｐ，１）＝０　ｍｏｄ　ｐ^5

［５］ツイーヴ（２０００年）

ｐを素数，ｐ≧５とする．

（ｎｐ^m，ｋｐ^m）＝（ｎｐ^m-1，ｋｐ^m-1）　ｍｏｄ　ｐ^3m

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝