ｎ次元ユークリッド空間の有限合同変換群？

■ｎ次元ユークリッド空間の有限合同変換群？

　群の概念は，代数方程式の解の置換の研究として誕生した歴史をもつが，今日では自然科学の多くの分野に応用され，たとえば，化学における分子構造やタンパク質やＤＮＡの配列の決定に関しても，群論が重要な役割を果たしていることはご存知であろう．

　コラム「エルランゲン・プログラムと変換群」では，クラインの主張「幾何学とは変換群（運動）が与えられたとき，この群で不変な図形の性質を研究する学問である」ことを紹介したが，それは当時整理のつかない状況にあったいろいろな幾何学を別々の幾何学としてそのままにせず，「変換群」の概念のもとに統一する画期的な見解であるとして高く評価されている．

　ところで，ｘ－ｙ平面の（ユークリッド）合同変換とは，直交変換を行ったのちに平行移動を行うことであって，写像の式で書けば

　　ｆ：［ｘ］→Ａ［ｘ］＋［ａ］

　　　　［ｙ］　　［ｙ］　［ｂ］

と書ける．

　ここでａ，ｂは平行移動の定数，Ａは直交行列

　　Ａ’＝Ａ^(-1)

すなわち，転値行列が逆行列となる行列である．直交行列の行列式｜Ａ｜は１か－１であって，｜Ａ｜＝１のとき，Ａの作用は回転運動，｜Ａ｜＝－１のとき，Ａの作用は裏返し（鏡映）となる．空間の合同変換も同様に定義される．

　直交変換Ａの形を少し変えて，ｃＡ（ｃ：正の定数）で与えられる変換は相似変換，また，Ａが正則行列（行列式≠０）ならばアフィン変換となる．

　証明は簡単なので略すことにするが，平面の合同変換全体の集合は写像の合成に関して群をなす．すなわち，群の公理系

　　(1)単位元をもつ（恒等変換）

　　(2)逆元をもつ

　　(3)結合法則ａ・（ｂ・ｃ）＝（ａ・ｂ）・ｃが成立する

を満たすので，「合同変換群」と呼ばれる．直交変換，平行移動は合同変換の特別な場合であり，直交変換群，平行移動群は合同変換群の部分群をなしている．

　一般に，ユークリッド空間の合同変換とは，写像ｆが２点間の距離や角度（内積）を変えないものをいう．図形を変形しないで動かすだけ，すなわち，回転，並進（平行移動），鏡映などがその例となる．また，平行移動も回転も鏡映の積に書けるので，ｎ次元ユークリッド空間の合同変換はみな高々ｎ＋１個の鏡映の積として表されることも知られている．

　そこで，今回のコラムでは「ｎ次元ユークリッド空間の合同変換からなる有限群（有限合同変換群）をすべて決定し分類すること」を目的にするが，２次元，３次元の有限合同変換群の分類はよく知られていて，まったく古典的な結果であるという．

　また，４次元以上のユークリッド空間の有限合同変換群の分類についても，既に解決済みの問題である可能性が高い．不勉強のため，一般のｎ次元ユークリッド空間の有限合同変換群についての分類結果に憶えはないが，それでも，有限単純群の分類と比べて格段に易しい問題に思えるのである．→【補】有限単純群の分類

　いまさら紹介するまでもないことかもしれないし，少々ためらったが，結局書くことに決めたのは，この問題は群論におけるマイ未解決問題であって，前述のコラム「エルランゲン・プログラムと変換群」を補完したいという思いに駆られたからである．

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【１】用語の解説から

　新しい概念を学ぶことはとても疲れるものであるが，もう少しだけご勘弁願いたい．

　アミダクジのように，元と元を１対１で置換する写像も群をなす．この群を対称群，その部分群を置換群と呼ぶ．また，偶置換全体も対称群の部分群になっていて，これを交代群と呼ぶ．置換群は元の数が有限である群（有限群）であるが，無限群の例もあげておこう．

　ｎ次元正則行列Ａ，Ｂに対して，積ＡＢは正則行列で，単位行列Ｅ，逆行列Ａ^(-1)，Ｂ^(-1)も正則行列である．また結合法則を満たすので，行列の積を２項演算とする群になる．すなわち，行列は群の例である．

　直交行列とは，ｎ次正則行列Ａの転値行列が逆行列となる行列のことである．

　　Ａ’＝Ａ^(-1)

直交行列も群をなし，ｎ次元空間のｎ次直交変換全体のなす群をＯ（ｎ）で表す．直交変換はベクトルの長さや角度を変えない変換であるから，それはまた（ｎ－１）次元単位球面を自分自身に移す変換と考えることもできる．

　また，ｎ次直交群Ｏ（ｎ）のなかで行列式が１のものがｎ次特殊直交群ＳＯ（ｎ）であり，ＳＯ（ｎ）はＯ（ｎ）の部分群になっている．行列式が１の合同変換を回転運動とよび，行列式が－１の合同変換が裏返しである．

　すなわち，Ｏ（ｎ）はｎ次元空間の直交変換全体のなす群，ＳＯ（ｎ）は回転運動全体のなす群であって，合同運動群は合同変換群の部分群をなすのである．

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【２】ＳＯ（２）の有限合同変換群

　おおまかな用語の説明が済んだところで，既成事実の羅列の如くになってしまうのであるが，わかっている結果から述べてみたい．まず最初に，ＳＯ（２）の有限部分群Ｇを決定しよう．

　ＳＯ（２）のすべての元は

　　［ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ］

　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

の形に書ける．２次の行列式が１の直交行列はすべてこの形に書けることは容易に証明される．

　自然数ｋが与えられたとき，

　　θ＝２π／ｋ

　　ω＝［ｃｏｓθ，－ｓｉｎθ］

　　　　［ｓｉｎθ，　ｃｏｓθ］

とおく．そうするとω^k＝１（単位元）であるから

　　Ｇ＝｛１，ω，ω^2，・・・，ω^(k-1)｝

となる．

　このように，群Ｇの元が皆一つの生成元ωのベキの形で表されるとき，「巡回群」という．また，群Ｇの元ｇについて，ｇ^k＝１（単位元）となる自然数ｋが存在するとき，ｋのなかで最小のものをｇの位数と呼ぶ．

　巡回群は，正ｎ角形の原点を通る１つの軸を中心とした２π／ｎ回転から生成される群と等価と見なすことができるので，ＳＯ（２）と絶対値１の複素数のなす乗法群とは同型になる．

　なお，ω^jが生成元となるための条件は

　　｛１，ω^j，ω^2j，・・・，ω^(k-1)j｝

が互いに相異なることであるから，生成元の個数はオイラーの関数：φ（ｋ）個である．φ（ｋ）は｛１，２，・・・ｋ｝の中でｋと互いに素な自然数の個数として定義される．たとえば，ｋ＝６ならφ（６）＝２となり，｛１，２，３，４，５，６｝のなかで６と互いに素なものは１と５の２つで，生成元はωとω^5である．

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　位数ｎの巡回群とは，平面上の正ｎ角形の重心を通る垂直軸を中心とした回転軸のまわりの２π／ｎの倍数だけの回転の集合（回転群）であり，ＳＯ（２）の有限部分群はすべて巡回群となる．巡回群を「正多角形群」といい換えてもよかろう．

　これをスローガン的に書けば，

　　「ＳＯ（２）の有限合同変換群は巡回群につきる」

となる．一方，Ｏ（２）の有限合同変換群には，巡回群を部分群にもつ正２面体群が含まれる．これについては次節で述べることにしたい．

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【３】ＳＯ（３）の有限合同変換群

［１］正２面体群

　平面の回転群をそのまま空間の群と見なしたものが巡回群であるが，ＳＯ（３）ではその裏返しも存在し，位数ｋの巡回群（回転運動）とその鏡映ｓからなる

　　｛１，ω，ω^2，・・・，ω^(k-1)，ｓ，ｓω，ｓω^2，・・・，ｓω^(k-1)｝

が正２面体群（位数２ｋ）である．

　「正２面体群」とは，正ｎ角形をそれ自身に移す回転全体のなす群であって，重心を通る垂直軸を中心とした回転と対称軸を中心としたπ回転から生成される位数２ｎの群と幾何学的に考えることができる．この正２面体という奇妙な名前は，２枚の正多角形を貼り合わせたものをつぶれた多面体と見なすことから由来している．

　ここで，１つの正三角形を考えよう．三角形の中心まわりの角度１２０°の右回り回転をａとすると，ａは３回やると元に戻るので

　　ａ^3＝１

また，頂点を通る中心線に関して裏返す作用をｂとすると

　　ｂ^2＝１

２種類の作用の相互関係は

　　ａｂ＝ｂａ^2

と書けるので，位数６の正２面体群は２元｛ａ，ｂ｝によって生成される

　　｛１，ａ，ａ^2，ｂ，ａｂ，ａ^2ｂ｝

である．

　すなわち，位数３の巡回群｛１，ａ，ａ^2｝とその裏返し｛ｂ，ａｂ，ａ^2ｂ｝とからなる（回転∪鏡映）．群表を書けば，どの元も各行各列にちょうど１回ずつ登場し，魔法陣のようであることが理解されるだろう．２つの生成元ａ，ｂが

　　ａ^2＝ｂ^n＝（ａｂ）^2＝１

という関係を満たすことを確かめられたい．

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［２］正多面体群

　ＳＯ（３）はＲ^3の回転全体のなす群でもある．ではどのような回転が正多面体を保つであろうか？

　正多面体の回転を考えると，

　　(1)頂点と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｑ回転

　　(2)辺の中心と原点を通る軸を中心としたπ回転

　　(3)面の重心と原点を通る軸を中心とした２πｋ／ｐ回転

の３つが可能な回転軸である．

　これらの回転によって，正４面体（位数１２）では４つの頂点の偶置換を引き起こすので４次交代群Ａ4と同型，正８面体（位数２４）では対面する面は４組あり，これらの組の置換を引き起こすので４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体（位数６０）では３０個の辺を５組に分ける偶置換として作用するので５次交代群Ａ5と同型になることがわかる．

　ＳＯ（３）の有限部分群Ａ4，Ｓ4，Ａ5はＲ^3の５種類の正多面体と密接な関係があり，総称して「正多面体群」と呼ばれている．正多面体の回転群は３次の特殊直交群ＳＯ（３）の有限部分群である．

　また，群Ｇの元の個数は｜Ｇ｜と書かれ，Ｇの位数と呼ばれる．正多面体群の位数｜Ｇ｜は

　　（面の個数）×（１つの面の辺の個数）

で与えられることも理解されよう．

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　ＳＯ（３）にはこのほかに２種類の有限部分群がある．一つは巡回群，もうひとつは正２面体群であり，これらでＳＯ（３）の有限部分群をつくすことが知られている．つくすというのは，共役を除いてただ一通り存在するという意味である．正２面体群とＡ4，Ｓ4，Ａ5とを併せて（広義の）正多面体群と呼ぶこともある．

　以上より，ＳＯ（３）の有限合同変換群は，

　　(1)巡回群（Ｃn：位数ｎ）

　　(2)正２面体群（Ｄ2n：位数２ｎ）

　　(3)４次交代群（Ａ4：位数１２）←→正４面体群と同型

　　(4)４次対称群（Ｓ4：位数２４）←→正６（８）面体群と同型

　　(5)５次交代群（Ａ5：位数６０）←→正１２（２０）面体群と同型

のいずれかである．

　もっと大まかに

　　(1)巡回群とその裏返し

　　(2)正多面体群

とまとめることもできるだろう．

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［３］置換群的アプローチ

　前節のように，幾何学的・直観的にアプローチした結果だけを見ると，ＳＯ（３）の有限部分群の分類問題は容易に解けたように見えるかもしれない．ところが，それとは裏腹に，群論的な分類方法はかなり複雑である．この節では，正攻法すなわち群論的に考えることにする．

　群Ｇの元の個数は｜Ｇ｜と書かれ，Ｇの位数と呼ばれる．シローの定理により，群Ｇの位数｜Ｇ｜を割るすべての素数ｐに対するシローｐ部分群が複雑に絡み合って群Ｇ全体の構造が決まってくる．

　ここで，証明を相当部分端折ることになるのだが，置換群的アプローチによって，

　　１＋２／｜Ｇ｜＝１／｜Ｇ1｜＋１／｜Ｇ2｜＋１／｜Ｇ3｜

が得られる．Ｇ1，Ｇ2，Ｇ3はＧの部分群であり，固定化群と呼ばれる．また，｜Ｇ1｜≧｜Ｇ2｜≧｜Ｇ3｜としても一般性を失わない．

　こうして得られた｜Ｇ1｜，｜Ｇ2｜，｜Ｇ3｜，｜Ｇ｜を一覧表にすると，

　　　　　　｜Ｇ1｜　　｜Ｇ2｜　　｜Ｇ3｜　　｜Ｇ｜

　　Ｄ2n　　　ｎ　　　　　２　　　　２　　　　２ｎ

　　Ａ4 　　　３　　　　　３　　　　２　　　　１２

　　Ｓ4 　　　４　　　　　３　　　　２　　　　２４

　　Ａ5 　　　５　　　　　３　　　　２　　　　６０

になる．

　少し補足しておきたい．Ｄ2n型部分群は正２面体群である．前述したように，巡回群は正２面体群の部分群となっている．４文字１，２，３，４の置換全体のなす群が４次対称群Ｓ4で，その位数は４！＝２４である．Ｓ4は２つの生成元ａ，ｂによって生成され，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^4＝（ａｂ）^2＝１

４次交代群Ａ4はＳ4中の偶置換（偶数個の互換の積）全体からなる部分群で，位数は２４／２＝１２，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^3＝（ａｂ）^2＝１

また，５次交代群Ａ5の位数は，５次対称群の位数が５！＝１２０であるから，１２０／２＝６０，基本関係式は

　　ａ^3＝ｂ^5＝（ａｂ）^2＝１

となる．

　Ａ4，Ｓ4，Ａ5の３つの群は，Ｒ^3の５種類の正多面体と密接な関係にあり，Ｓ4は正６面体（正８面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合，Ａ4は正４面体（点対称性はもたないが，面対称性をもっている）を変えぬ運動の集合，Ａ5は正１２面体（正２０面体：中心に関して点対称）を変えぬ運動の集合であって，総括して正多面体群と呼ばれている．

　なお，Ｏ（３）の有限部分群は，ＳＯ（３）の有限部分群５系列と原点に対する対称変換（裏返し）を部分群にもつ５系列，どちらにも属さないもの４系列が加わるため，合計１４の系列に分類される．