超幾何関数を用いた確率分布の計算（その７）

　日本人には，フランス人のように蝸牛（かたつむり）や食用蛙を上手に料理して美味しく食べるという習慣はありません．逆に，フランス人には日本人のように牛蒡（ごぼう）を食べる習慣はなく，フランス人に牛蒡をごちそうしたところ，木の根っこだと思われたという話があるくらいです．

　この書き出しと確率分布には何の関係があるだろうか？と思われたかもしれませんが，本稿では食文化・食習慣の違いについて述べようとしているのではありません．食文化・食習慣のように，決まった習慣がいったん固定化され慣習化すると，なかなか変化することは少ないという喩え話なのです．ところが，・・・

　統計検定では，つい最近まで，検定結果をp<0.05のように表すことが一般的だったのですが，いまではp=0.0314のように直接的な確率表現にするほうが大いにもてはやされています．この変化はかなりドラスティックに進行しました．

　確かに，p=0.0314のように数値を末位まで明記されると，いかにも正しく計算し細かく練ったかのように見えます．一方，p<0.05はほぼどれくらいかを漠然と示す概算値にしか見えません．したがって，p=0.0314のほうが高度な数学的手法に基づいていると思われるかもしれませんが，意外なことにp=0.0314の方が簡単に計算できるのです．

　累積分布関数F(x)はしばしば分布関数とも略されますが，確率変数Xがxよりも小さい値をとる確率P{X<=x}を表す関数として表現され，密度関数f(x)を-∞からxまで積分することによって得られます．

　一方，累積分布関数F(x)の逆関数F-1(x)は，逆分布関数，分位点関数あるいは確率表現関数とも呼ばれます．指数分布，ワイブル分布，２重指数分布，コーシー分布，ロジスティック分布などでは逆分布関数が解析的に求められますが，正規分布，χ2分布，ｔ分布，Ｆ分布などの主要な確率分布の逆分布関数は解析的には求められません．逆分布関数は一般的に明示的には書き表せないのです．

　統計的仮説検定では標本から得られた統計量が仮説とどれくらい乖離すると，仮説を棄却しうるかという境界を設けることになりますが，その際，われわれは２種類の判定ミスを犯します．「仮説が真であるのにそれを棄却する」誤りを第１種の過誤，「仮説が偽であるのにそれを採択する」誤りを第２種の過誤といいます．たとえば，医学統計の場合では，第１種の過誤とは病気の人を健康と判断してしまうこと，第２種の過誤とは健康な人を病気と判断してしまうことに対応します．第１種の過誤確率αは状況を考えて選ばなければなりません．医療診断のように誤りが重大な結果をもたらす場合には第１種の過誤確率αは非常に小さくとる必要があります．

　実は，第１種と第２種の過誤のどちらが重要であるかは立場の違いによって変わってきます．生産者と消費者の例をあげてみると，第１種の過誤は生産者にとって好ましくない誤りであることから，生産者危険，また別名をあわて（αｗａｔｅ）者の誤りといい，第１種の過誤確率をαで表します．これに対して，第２種の誤りは製品を購入する消費者側からみて好ましくない誤りであることから消費者危険，別名ぼんやり（βｏｎｙａｒｉ）者の誤りとも呼ばれ，第２種の過誤確率はβで表されます．しかも，これら２タイプの判定ミスは，競合的かつ背反的で，一方を減らすと他方が増えるというトレードオフの関係にあります．これら２つの判定ミスを同時に減少させることはできないわけですが，検定では，「危険率は小さく，検出力は大きく」が要請されます．不幸にもこの２条件は互いに矛盾することになります．

　さらに厄介なことに，統計検定ではあらかじめαを決めることはできても，βを決めることは不可能です．そこで，統計検定では妥協策として第１種の過誤を中心としていろいろなルールが設定されています．検定の論理は「背理法」ですから，否定したい仮説をいったん設定し，得られたデータから，確率論的に仮説の矛盾を導こうとするものです．そうでないことを示すためにわざわざ仮定する仮説を帰無仮説，矛盾と見なす確率が有意水準と呼ばれます．

　p<0.05のような表現は有意水準をα=0.05としてパーセント点を求め，それを統計量と比較することによって得られます．このように，有意水準を前もって指定しておき，危険率がこの水準を越えない範囲で検出力がなるべく大きくなるように棄却域を定めるようにした検定基準がネイマン・ピアソン基準といわれるものです．すなわち，一定の第１種の過誤確率（有意水準）αについて，第２種の過誤確率（見逃しの危険率）βを最小にするような棄却域の選び方がネイマン・ピアソン基準で，医学統計の問題に再び戻れば，病気の人が健康とみなされる確率（もちろんこの確率はできるだけ小さくしたい）が与えられたとき，健康な人が病気とみなされる確率を最小にする判定基準を求めることに相当します．

　以上のような検定論の考え方があって，有意水準αに基づいたp<0.05のような表現，あるいは，検定結果を星（*,**,***）で表現する習慣になっていたのです．「統計解析では，多くの研究者が天文学者と化す．なぜなら，彼らは星がつくつかないで一喜一憂する．」という皮肉がありますが，こうしたあまりありがたくない陰口がささやかれているのも，まんざら理由のないことではないでしょう．

　なお，統計的仮説検定に際して，間違った検定法を選ぶ誤りを「第３種の過誤」と呼ぶことがあります．そこには，得られたデータが有意となるような恣意・作為が働くわけで，最近では第１，２種の過誤よりも第３種の過誤の問題が大きくクローズアップされています．

　　Ｆ（α，β，γ：ｘ）＝１＋αβ／γｘ＋１／２！α（α＋１）β（β＋１）／γ（γ＋１）ｘ^2＋１／３！α（α＋１）（α＋２）β（β＋１）（β＋２）／γ（γ＋１）（γ＋２）ｘ^3＋・・・

　また，ガウスの超幾何微分方程式は３個の確定特異点をもち，それらは０，１，∞にスケール変換することができます．ここで，確定特異点１→∞として，２つの特異点を合流させると，その解として

　超幾何関数はオイラーによってすでに発見されていたのですが，ガウスはそれをもとに楕円関数論の研究を進めました．そしてクンマー，アーベル，ヤコビらの研究を発展させ代数関数論を完成させたのはリーマンです．超幾何関数論は数学的内容だけでなく，歴史的経緯も学ぶに値するものと考えられています．

　さて，このシリーズでは，超幾何関数を用いた確率計算プログラムを紹介してまいりました．片側確率には上側確率と下側確率の２つがありますが，分布によって上側確率を指すときと下側確率を指すときがあり，作る側・使う側双方にとって混乱を引き起こす原因になっていました．累積分布関数は密度関数を-∞からxまで積分することによって得られますから，累積分布関数の観点からみると，下側確率の方が望ましいといえます．そこで，今後，片側確率といえば下側確率を指すものとします．

の計算プログラムを書きました．ａ，ｂについては（その５）で，ｃについては（その６）に掲げましたが，今回はこれらを１つにまとめ，オールインワンとしてみました．

　以下では，下側確率をP0，正規分布，（非心）ｔ分布，（非心）Ｆ分布，（非心）χ2分布の各パーセント点をそれぞれUUN,UUT,UUF,UUX，自由度をDF，非心度をLAMBDAで表し，サブルーチンの呼び出し方を具体的に示しますので，ぜひ参考にしてみて下さい．

　このプログラムは超幾何関数のベキ級数展開版として設定してあります．しかし，連分数展開のほうがよいとする意見もありますから，連分数展開版として使いたい場合は，

　ウェルチのｔ検定や広津の累積χ2検定等では，小数付き自由度での片側確率・パーセント点を求める必要がありますが，このプログラムは高精度でしかも小数付き自由度でも使えることがわかります．

　非心分布の分布関数をＦ（ｘ，ν，λ）とすると，Ｆはもちろんｘの増加関数ですが，ｘを固定したとき，分布関数Ｆは非心度λの減少関数になります．ところが，非心度を求める（７）の計算は異常値に収束したり，発散したりで惨憺たる結果となりました．初期値を求めるサブルーチンに難があることがわかったので，今回のプログラムではその部分を修正してあります．いまもなお未発見のバグがあるかと思われますが，今後の課題としておきます．