■テータ関数の応用（その１）
三角関数は周期２πをもつ一変数一周期の実関数です（ｓｉｎ（ｘ＋２π）＝ｓｉｎｘ）．他の周期はその整数倍２ｎπですから二重周期ではありません．指数関数ｅｘｐ（ｘ）も複素数の世界にはいると，オイラーの等式
ｅｘｐ（２πｉ）＝１
よりｅｘｐ（ｚ＋２πｉ）＝ｅｘｐ（ｚ）ですから周期２πｉをもちますが，これも単周期関数です．
ところが，アーベルとヤコビは一変数二重周期の複素関数，すなわち，
ｆ（ｚ＋ｐ＋ｑ）＝ｆ（ｚ＋ｐ）＝ｆ（ｚ＋ｑ）＝ｆ（ｚ）
を満たすような関数を発見し，さらに，ヤコビは二変数四重周期の関数
ｆ（ｚ＋ａ＋ｂ，ｗ＋ｃ＋ｄ）＝ｆ（ｚ，ｗ）
を発見しています．このように，複素関数のなかには２重周期をもつものがありますが，これはドーナツ面（円環面）上の関数と見ることができます．なぜなら，ドーナツ面は環状に並べられた円と考えることができるからです．
ヤコビの楕円関数sn,cn,dnを三角関数に対応する２重周期関数とするならば，ヤコビのテータ関数は指数関数に対応する擬２重周期関数です．前回のコラムに掲げた保型形式やｑ展開（変数ｑはモジュラー関数の計算では常に登場する）との関連で，今回はヤコビのテータ関数について説明することにしますが，不思議なことにテータ関数は数学のみならず物理とも深く関わっています．
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【１】テータ関数の定義
まず，テータ関数の導入と定義にあたって，複素平面上の関数で，
(1)ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）
(2)ｆ（ｚ＋τ）＝ω（ｚ）ｆ（ｚ）
を満足するものと考えることにします．(1)はｆが周期Ｚをもつこと，(2)はτＺは周期とはならないが，それに近いものであることを意味します．リウヴィルの定理により，２重周期を有する正則な関数は定数しかないので，２重周期性を少し緩めて定数でない関数を求めようという発想です．
(1)(2)より
ω（ｚ）ｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ＋τ）＝ｆ（ｚ＋１＋τ）＝ω（ｚ＋１）ｆ（ｚ＋１）＝ω（ｚ＋１）ｆ（ｚ）
したがって，ω（ｚ＋１）＝ω（ｚ）でなければなりませんから，
ω（ｚ）＝ｃｅｘｐ（−２πｉｚ）
なる関数を採用することにします．
一方，周期性の定義(1)より，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｎｚ）のベキ級数としてフーリエ展開をもつので，(1)をフーリエ変換すると
ｆ（ｚ）＝Σａnｅｘｐ（２πｉｎｚ）
また，
Σａnｅｘｐ（２πｉｎ（ｚ＋τ））＝ｆ（ｚ＋τ）＝ω（ｚ）ｆ（ｚ）＝ｃｅｘｐ（−２πｉｚ）Σａnｅｘｐ（２πｉｎｚ）＝ｃΣａnｅｘｐ（２πｉ（ｎ−１）ｚ）＝ｃΣａn+1ｅｘｐ（２πｉｎｚ）
ここで，ｅｘｐ（２πｉｎｚ）の係数を比較すると，ｃａn+1＝ａnｅｘｐ（２πｉｎτ），ａ0＝１とおくと一般に
ａn＝ｃ^(-n)ｅｘｐ（πｉｎ（ｎ−１）τ）
となります．
さらに，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ），ｃ＝ｑ^(-1)とおくことによって，ａn＝ｑ^(n^2)，したがって，
ｆ（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｅｘｐ（２πｉｎｚ）
あるいは，ｙ＝ｅｘｐ（πｉｚ）とおくと
ｆ（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)
となります．
これがθ3（ｚ）の定義ですが，三角関数を用いると
θ3（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)
＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）
とも表されます．
テータ関数は２変数ｚ，τ（あるいはｙ，ｑ）の関数なのですが，文献によっては
ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）
ｙ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）
としていることもあるので注意してください．
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ヤコビが定義したテータ関数はθ3を含めて４つあります．
θ4（ｚ）＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｙ^(2n)
＝１＋２Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）
θ2（ｚ）＝Σｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)
＝２Σｑ^((n+1/2)^2)ｃｏｓ（２ｎ＋１）πｚ
θ1（ｚ）＝1/iΣ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)
＝２Σ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｓｉｎ（２ｎ＋１）πｚ
ｑの指数は整数Ｚや半整数Ｚ＋１／２の２乗ですが，このことから整数あるいは半整数のつくる１次元格子上の２次形式と理解することができます．そして，整数・半整数，交代・非交代の組合せから４つのテータ関数が定義されるというわけです．
テータ関数はｚ＋１，ｚ＋τに対して
θ3（ｚ＋１）＝θ3（ｚ），θ3（ｚ＋τ）＝Ａθ3（ｚ）
θ4（ｚ＋１）＝θ4（ｚ），θ4（ｚ＋τ）＝−Ａθ4（ｚ）
θ2（ｚ＋１）＝−θ2（ｚ），θ2（ｚ＋τ）＝Ａθ2（ｚ）
θ1（ｚ＋１）＝−θ1（ｚ），θ1（ｚ＋τ）＝−Ａθ1（ｚ）
ここで，Ａ＝ｑ^(-1)ｙ^(-2)
ｚ＋１／２，ｚ＋τ／２，ｚ＋１／２＋τ／２に対して
θ3→ θ4 Ｂθ2 iＢθ1
θ4→ θ3 iＢθ1 Ｂθ2
θ2→−θ1 Ｂθ3 −iＢθ4
θ1→ θ2 iＢθ4 Ｂθ3 Ｂ＝ｑ^(-1/4)ｙ^(-1)
を得ることができます．
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【２】テータ関数の零点と無限積表示
θ3（ｚ＋１）＝θ3（ｚ）
θ3（ｚ＋τ）＝Ａθ3（ｚ），Ａ＝ｑ^(-1)ｙ^(-2)
を拡張すると
θ3（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝ｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ3（ｚ）
ですが，テータ関数の零点が
θ3（ｍ＋ｎτ＋１／２＋τ／２）＝０ （ｍ，ｎは整数）
（証明は帰納法による）であることより，テータ関数の無限積表示
θ3（ｚ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)ｙ^2）（１＋ｑ^(2m-1)ｙ^(-2)）
が得られます．
同様に
θ4（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝(-1)^nｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ4（ｚ）
θ2（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝(-1)^mｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ2（ｚ）
θ1（ｚ＋ｍ＋ｎτ）＝(-1)^(m+n)ｑ^(-n^2)ｙ^(-2n)θ1（ｚ）
θ4（ｍ＋ｎτ＋τ／２）＝０
θ2（ｍ＋ｎτ＋１／２）＝０
θ1（ｍ＋ｎτ）＝０
より
θ4（ｚ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)ｙ^2）（１−ｑ^(2m-1)ｙ^(-2)）
θ2（ｚ）＝２ｑ^(1/4)ｃｏｓπｚΠ（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2mｙ^2）（１＋ｑ^2mｙ^(-2)）
θ1（ｚ）＝２ｑ^(1/4)ｓｉｎπｚΠ（１−ｑ^2m）（１−ｑ^2mｙ^2）（１−ｑ^2mｙ^(-2)）
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ヤコビのテータ関数
θ3（ｚ）＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）
は指数関数（周期関数）に対応しているのですが，ヤコビはテータ関数を使うことによって，ヤコビの楕円関数（二重周期関数）を表すことにも成功しています．
このように楕円関数論ではθkがｚについて擬２重周期（１，τ）をもつ関数として互いに関係する点に注目するのに対して，物理ではθkのτについてのモジュラー関数として着目します．
そこで，簡単のため，ｚ＝０（ｙ＝１）とおいたものをθk（τ）とかくと，
θ3（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^(2m-1)）^2
θ4（τ）＝Π（１−ｑ^2m）（１−ｑ^(2m-1)）^2
θ2（τ）＝２ｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）（１＋ｑ^2m）^2
θ1（τ）＝０
θ1'（τ）＝ｄθ1／ｄｚ｜(z=0)＝２πｑ^(1/4)Π（１−ｑ^2m）^3
となります．
また，これらより
πθ2（τ）θ3（τ）θ4（τ）＝θ1'（τ）
θ3^4（τ）＝θ2^4（τ）＋θ4^4（τ）
などの関係式を導き出すことができます．
ここからはデデキントのイータ関数との関係で
ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）
としますが，周期性
θ3（τ＋１）＝θ4（τ）
θ4（τ＋１）＝θ3（τ）
θ2（τ＋１）＝θ2（τ）ｅｘｐ（πｉ４）
双対性については，ポアソンの和公式を用いて求めます．
θ3（−１／τ）＝θ3（τ）（−ｉτ）^(1/2)
θ4（−１／τ）＝θ2（τ）（−ｉτ）^(1/2)
θ2（−１／τ）＝θ4（τ）（−ｉτ）^(1/2)
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【３】テータ関数の応用
ここのところやたらとΠの形の式がでてきましたが，テータ関数はヤコビの３重積公式
Σｑ^(m^2)ｙ^m＝Π（１−ｑ^2n）（１＋ｙｑ^(2n-1)）（１−ｙｑ^(2n-1)）
にも結びついています．
ヤコビの３重積公式は無限和と無限積を結びつける公式Σ＝Πであって，その重要な応用として，
(a)オイラーの五角数定理（１７５０年）
Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2)) m(3m-1)/2は五角数
(b)ヤコビの三角数定理（１８２９年）
Π(1-q^n)^3＝Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2) (m^2+m)/2は三角数
など，加法的整数論の有名な公式があります．
また，テータ関数が物理で果たしている役割について述べると，デデキントのイータ関数（重さ1/2をもつモジュラー関数）
η(z)=q^(1/24)Π(1-q^n),q=exp(2πiz)
の双対性
η（−１／τ）＝η（τ）（−ｉτ）^(1/2)
との類似から
Ｚ（τ，ｚ）＝θ3／η
と定義すると
Ｚ＝ｑ^(-1/24)Π（１＋ｙｑ^(n-1/2)）（１＋ｙ^(-1)ｑ^(n-1/2)）
分配関数Ｚは本質的にはθ3なのですが，それをｑ展開すると
Ｚ＝ｑ^(-1/24)｛１＋（ｙ＋ｙ^(-1)）ｑ^(1/2)＋ｑ＋（ｙ＋ｙ^(-1)）ｑ^(3/2)＋・・・｝
そして，Ｚの各項ｑ^nｙ^sの展開係数はエネルギーｎ，電荷ｓをもつ状態がいくつあるか（多重度）を与える物理学上の母関数となっているのです．
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さらにこの式は超弦理論とも深い関わりがあるという・・・．ところで，１９７０年代，フェルマーの問題を征するために必要となるのが楕円曲線であることが明らかになりました．楕円曲線には，楕円曲線と三点で交わる直線で，そのうちの二つの交点の座標がわかれば他の一点の座標も計算でき，二つの点の座標が有理数ならば，他の一点の座標も有理数であるなどの性質をもっています（群構造）．
楕円曲線はフェルマー予想の解決で注目された曲線で，楕円関数でパラメトライズされる曲線で，歴史的にいうと楕円関数は楕円積分を源とし，楕円積分の逆関数として導入されました．１９９４年にはワイルズがフェルマー予想の証明を完成させましたが，同年は超弦理論のサイバーグ・ウィッテン解が発表された年でもあります．そしてどちらの仕事でも楕円曲線が中心的な役割を果たしています．
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【補】ヤコビの楕円関数
この節ではヤコビの楕円関数について補足説明することにします．ヤコビは，第１種不完全楕円積分
f(x)=1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)
ω=F(z)=∫(0-Z)f(x)dx
に対して，正弦関数をまねてF^(-1)(ω)をsnω=F^(-1)(ω)と定義し，
sn^(-1)z=∫(0-Z)f(x)dx
を得ました．
また，三角関数にならって
cnω=√(1-sn^2ω),dnω=√(1-k^2sn^2ω)
と定義しました．関数sn,cn,dnがヤコビの楕円関数ですが，少し複雑な三角法と思えばよく，三角関数同様，ヤコビの楕円関数からはいろいろな加法公式を導き出すことができます．
なお，第１種不完全楕円積分において，ｋ→０とすると，
K(0)=∫(0-Z)f(x)dx=sin^(-1)z
ｋ→１とすると，
K(1)=∫(0-Z)f(x)dx=tanh^(-1)z
ですから，snωはsinωとtanhωの中間に位置していることがわかります．
実際にベキ級数展開を求めると，
snω=ω-(1+k^2)/6ω^3-(3+2k^2+3k^4)/40ω^5+･･･
が得られます．
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