■ここ四半世紀に証明された定理
ミレニアムの節目をすぎても，リーマン予想，ＢＳＤ予想，ホッジ予想，ポアンカレ予想，・・・などがまだ未解決のまま残されている．
「ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にある」
というのが有名なリーマン予想であるが，数学における未解決問題のうち最も難しいものと考える人も多い．
これらの未解決の難問が，数学の研究に大きな役割を果たしてきたことはいうまでもないことである．ヒルベルトの言葉を借りれば，問題の欠乏は発展の停止を意味するのである．→［補］
残念ながら，数学の難問には述語の説明だけでも何頁もかかるものが多いし，その意義までとなると理解の欠如から説明困難であることも少なくない．それに対して，フェルマーの最終予想は中学生でも問題の意味が理解できるものである．
１７世紀の数学者フェルマーが，３世紀の数学者ディオファントスの著書「算術」の欄外に記した書き込みに端を発するフェルマーの最終予想
「ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^n （ｎ≧３）は（０，０，０）以外の整数解をもたない」
は，１９９４年，ワイルズによって証明され，３世紀半の歴史に終止符が打たれた．その中には日本人数学者のアイディア，とりわけ，楕円曲線に関する谷山・志村予想が最も重要な役割を果たしたという経緯はご存知の方も多いだろう．これがミレニアムの変わり目の前になされた大きなエポックとなったことは間違いないところである．
また，２０世紀のうちに解決された悪名高き難問に，四色問題
「任意の平面地図は高々４色で色分けできるか？」
がある．５色で色分けできることはヒーウッドによって１００年以上も前から知られていたが，四色問題が肯定的に解決されたのは１９７０年代後半のことで，アペルとハーケンはコンピュータを使ってこの証明を成し遂げた．四色問題の証明は場合分けの数が膨大で，コンピュータによる解析に依存せざるを得なかったのである．
多くの数学者はこの証明においてコンピュータによる解析が本質的だと知ると落胆し，失望したと伝えられている．その証明は１９９５年にロバートソンによって改良されてかなり簡単になったとはいえ，いまだ手計算で証明を完成させた人はいない．ともあれ，四色問題がグラフ理論の発展に対する推進力となったことは確かである．
一方，数学の問題のなかにはまだこんなことがわかっていなかったのかと別の意味で驚かされるものもある．たとえば，コラム「シンク関数の数学的諸性質」で取り上げたｎ次元立方体の切り口の体積に関するボールの定理が証明されたのは１９８６年のことである．
今回のコラムでは未解決問題を取り上げる代わりに，２０世紀の最後の四半世紀に証明された数学の定理
１）ヘールによるケプラー問題の証明
２）１９四乗数定理
に関係する話題を（自分でわかる範囲で）いくつか取り上げて解説してみることにしたい．
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【１】ケプラーの球体充填問題
１６１１年，ケプラーは，物質を構成する粒子は体積を最小とするように自己を組織化するだろうという構成原理を考えました．そこで，粒子が球形だと仮定して，さまざまな配置の空間充填率を計算してみました．ケプラーが最初に試みたのは，それぞれの球が６個の球に囲まれるように第１層を構成し，第２層は第１層のくぼみに球を置くという積み方です．
これは別の角度からみると，立方体の８個の頂点と６面の中心に球が配置されているところから，面心立方格子と呼ばれている配置ですが，この積み方は八百屋の店先でミカンなどの山を安定に積み上げるために使われている日常的な配置です．この場合の充填率は√２π／６（７４．０４％）になります．
他の配置と比較してみましょう．たとえば，下の層を正方形配列としその真上に球をのせていく単純立方格子の充填率はたったπ／６（５３％）にすぎません．また，六方格子（第１層は面心立方格子と同じ正三角形配列だが，第２層は球の真上に球をのせる）の充填率は√３π／９（６０％）であり，立方体の８個の頂点と中心に球を配置した体心立方格子の充填率は√３π／８（６８％）です．こうして，さまざまな配置を調べてみたケプラーは，面心立方格子が最密充填構造であるという結論に達しました．
面心立方格子が最も密な球の充填方法だろうという予想は４００年近く前のケプラーまでさかのぼります．日常の経験からしても，同じ大きさの球の最も効果的な配置問題は自明なものと考えてしまいがちで，直感的に面心立方格子をなす場合が最大に詰め込んだ配置のように思えます．しかしだからといって，無限にある可能性をすべてひっくるめて証明したわけではないので，これは定理ではなく予想にすぎません．ランダムな配置まで含めると，空間充填率が７４．０４％よりも引き上げられるかもしれないからです．
１９５８年，ロジャースが四面体配置から，空間充填率の上限を３√２（ｃｏｓ-1１／３−π／３）＝７７．９６％とはじき出しました．四面体配置は，３次元で相互に接するように球を配置するときの最大数となる配置ですが，全空間を充たすことはできないので，空間充填率の上限と考えられるわけです．
１９８８年には，この上限はわずかに改良され，７７．８４％よりも高密度の詰め込みは存在しないことが証明されています．これを７４．０４％まで引き下げることができれば，面心立方格子が最密充填構造だという証明になるのですが，残念ながら，上限の引き下げは骨の折れる厄介なプロセスであり，遅々として進みませんでした．
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【２】ヘールによるケプラー問題の証明
ケプラーの問題については，大半の数学者がまず間違いないだろうと考え，すべての物理学者が当たり前だと思っていたのですが，面心立方格子が３次元空間における最密充填構造だという証明は，わずか数％の差であるにもかかわらず，また，何世紀にもわたる研究にもかかわらず未解決でした．
ケプラー予想は，１９９４年に解決されたフェルマーの最終定理に取って代わる数学上の未解決問題になっていたわけですが，１９９８年にトマス・ヘールによってとうとう
「キャノンボール・パッキングよりも密度の高い３次元パッキングは存在しない」
ことが証明されました．ケプラー予想から４００年近く経って，やっと定理に昇格したのです．
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【３】kissing numberの問題
次に「最密充填構造」と深く関係するkissing numberの問題について考えてみることにしましょう．
１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うようにかつお互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．１次元の球は区間であり，接触数は１次元のとき２個，２次元のとき６個であることは自明であって，幼稚園児でも解くことができそうです．
平面上で与えられるたいていの問題は，３次元あるいは高次元の空間で考察することができます．一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造と深い関連があります．
１０円玉の例からわかるようにτ2＝６ですが，ｎ≧３のとき，τn はどうなるでしょうか？ まず，３次元の場合，単位球のまわりに面心立方格子状に単位球を置いた場合の接触点
1/√2（±１，±１，０）
1/√2（±１，０，±１）
1/√2（０，±１，±１）
を考えてみると，これら１２個の相異なる２点に対応するベクトルの内積は，−１，±１／２，０のいずれかであり，したがって，その間の角度（球面距離）は６０度以上となりますから，これらの点で接するように１２個の単位球を置くことができます．したがって，τ3≧１２は直ちにわかります．
実際，正２０面体の１２個の頂点に対して，そこで接するように１２個の単位球を置くことができます．この場合，頂点間の角度は約６３゜２６′になり，１２個の球は互いに接触しておりません．少しだけなら自由に動かせるという状況ですから，その隙間を一つに集めたらもう一個球が入るのではないでしょうか？ ところが，これができるかできないかはあまり自明ではありません．というより，３次元になると，とたんに問題が難しくなってしまうのです．
３次元の球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，「ニュートンの１３球問題」と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．
１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られるまで非常に長い年月がかかったことになります．
４次元の場合はどうなるでしょうか？ ２４個の面心立方格子状配置の接触点
1/√2（±１，±１，０，０）
1/√2（±１，０，±１，０）
1/√2（±１，０，０，±１）
1/√2（０，±１，±１，０）
1/√2（０，±１，０，±１）
1/√2（０，０，±１，±１）
で重ならないように置けるので，τ4≧２４は明らかです．また，τ4≦２５は示されていますが，現在でもτ4が２４であるか２５であるかは未解決です．
τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけなのです．
少し詳細に調べていきましょう．４次元，５次元においては面心立方格子の類似品となりますが，６次元以上についてはそのようなことはもはや成立しなくなります．次元の上昇とともに，超球の間の隙間が大きくなっていくからです．８次元になると面心立方格子に十分な隙間ができるので，１１２個の接触点
1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・） （±１の個数は２つ）
と１２８個の隙間の点
1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１） （＋の個数は偶数）
に同じ大きさの球が詰め込み可能になります．専門的になりますが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．さらに，この詰め込みの断面が６次元と７次元のもっとも効率のいい格子状詰め込みを与えてくれます．
また，１９６５年，リーチは群論と深く結びついた今日リーチ格子として知られるようになったものに基づいて，２４次元空間の格子状詰め込みを構成しました．この詰め込みにおいては，なんと１つの超球に１９６５６０個もの超球が接触しています．τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．
こうして，ｎ≦２４のときのすでに知られている上界・下界がスローンらによって与えられています．
ｎ τn
1 2
2 6
3 12
4 24〜25
5 40〜46
6 72〜82
7 126〜140
8 240
9 306〜380
10 500〜595
･･･････････････････
24 196560
つまり，８次元と２４次元は，接吻数が計算できる特殊な次元なのであり，都合のいい格子（８次元の場合，格子にはＥ8，２４次元の場合，リーチ格子という名前が付いている）がひとつに決まるので，格子上に球を配置することによって，すぐに接吻数を数えることができるというわけです．
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【４】ラグランジュの定理（４平方和定理）
まず，簡単な数値実験から始めることにしましょう．１から１０までの整数をいくつかの平方数の和の形式で表現するというものです．→［補］
整数の平方
０，１，４，９，１６，２５，・・・
は非常にまばらにしか存在しませんが，２つの平方数の和の形で表される整数はより頻繁に現れます．１，２，４，５，８，９，１０，・・・
１＝１^2＋０^2
２＝１^2＋１^2
４＝２^2＋０^2
５＝２^2＋１^2
８＝２^2＋２^2
９＝３^2＋０^2
１０＝３^2＋１^2
ここで，３，６，７といった整数は，２つの平方の和では書けないことがわかります．しかし，３つの平方和となると幾分間隙を埋めてくれます．
３＝１^2＋１^2＋１^2
６＝２^2＋１^2＋１^2
それでも，なおすべての正の整数を得ることはできません．最後まで残った７に対しては３つの平方数の和で書けず，４つの平方数が必要となります．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
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このような数値実験からいくつかのことが予想され，肯定的に証明されています．
［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．
このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2
しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．
それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？ ２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．
［２］ルジャンドルの定理（３平方和定理）
４ｎ＋３の形の数は２個の平方数の和で表せませんが，同様にして，
「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない．」
ルジャンドルは，２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，この結果を得ています．
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［３］オイラー・ラグランジュの定理（４平方和定理）
また，前述の数値実験から
「すべての正の整数は，ｇ個の平方数の和として表すことができるだろうか？ さらに，ｇの最小値はいくつであろうか？」
というより高度な問題が派生します．
「すべての正の整数は４個の整数の平方和で表される」
というのが，ラグランジュの定理なのですが，驚くべきことに，７のみならず任意の自然数はたった４つの平方数の和の形に表せるのです．
７＝２^2＋１^2＋１^2＋１^2
２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2
このことを，シンボリックに書くと
ｎ＝□＋□＋□＋□
となります．□は平方数の意味です．
オイラーはこの定理の直前まで行きながら，最後の段階で成功しませんでした．ラグランジュはオイラーの研究成果からアイデアを得て，１７７２年，最後の段階を突破したのですが，その証明中で用いられる基本公式が
ｘ＝ａｐ＋ｂｑ＋ｃｒ＋ｄｓ，
ｙ＝ａｑ−ｂｐ＋ｃｓ−ｄｒ，
ｚ＝ａｒ−ｂｓ−ｃｐ＋ｄｑ，
ｗ＝ａｓ＋ｂｒ−ｃｑ−ｄｐ
とおくと
（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）（ｐ^2＋ｑ^2＋ｒ^2＋ｓ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
が成り立つというもので，１７４８年にオイラーによって証明されています．
この基本公式はハミルトンの４元数（１８４３年）を使ったうまい方法でも証明されますが，それにしても，オイラーはどのようにして発見したのでしょう？ なお，四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ数体系で，ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊなる性質をもち，
（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
となります．
上に掲げた基本公式は，４つの平方数の和となっている数は積の演算で閉じていること，すなわち，ｎ1が４つの平方数の和ならば，ｎ1ｎ2もそうであることを示しています．これにより，ラグランジュの定理を証明するには，すべての素数ｐが４つの平方数の和であるということの証明に帰着されることになります．また，
２＝１^2＋１^2＋０^2＋０^2
ですから，ｐは素数と仮定してもよいわけです．
すべての奇素数ｐが４つの平方数の和であることの証明も，背理法の１種である無限降下法によって証明できるのですが，これについては最近出版された
J.S.Chahal著，織田進訳「数論入門講義」共立出版
にわかりやすい解説がありましたので，それに譲ることにします．
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【５】ウェアリングの問題とヒルベルトの定理
１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，
「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」
ことを証明抜きで主張しました．これが，有名なウェアリングの問題です．
ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって
「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」
ことが肯定的に証明されています．
ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k
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【６】９三乗数定理，１９四乗数定理，・・・
１９四乗数定理：
「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」
は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題も約２００年かかって解決されたことになります．
なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きますが，この最良値を完全に決めることはまだできていません．高次形式の理論はまだ発展途上なのです．
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［補］巨人ヒルベルトの推測に反して
数学の巨人と称されるヒルベルトは，ポアンカレを議長とする１９００年の第２回国際数学者会議で「数学の諸問題」という講演を行っています．ヒルベルトのあげた２３の問題は数学のほとんど全分野にわたっていて，彼自身の研究と密接に関連しています．
そのなかで，数学の発展をもたらした問題の例として，最速降下線の問題，フェルマーの問題，三体問題，正多面体の問題，代数関数論におけるヤコビの逆問題などをあげていますが，フェルマーの問題がまったく純粋な思考の産物であるのに対して，三体問題は天文学上の必要性から生じたもので好対照をなしています．
第７問題が２^（√２）やｅ^πの超越性を問うものです．その後，１９１９年に，ヒルベルトは数学の難問について講義し，２^（√２）やｅ^πの超越性の証明はリーマン予想やフェルマー予想を解くよりはるかに難しいと考えたのですが，ｅ^πは１９２９年に，２^（√２）は１９３４年に超越数であることが証明されました．
ζ（ｓ）の零点がｓ＝−２，−４，・・・，−２ｎとｓ＝１／２＋ｔｉの線上にあるというのが有名なリーマン予想ですが，ヒルベルトは，「リーマン予想は私が生きているうちに解決され，フェルマー予想は長らく未解決のままであろう」と述べたといわれています．
３６０年ものあいだ未解決の数学的難問であったフェルマー予想は，１９９４年，ワイルスによって証明されました．しかし，ヒルベルトの推測に反し，リーマン予想は依然としてデッドロック状態にあります．数学における未解決問題のうち最も難しいものと考える人も多いのです．
現在のほとんどの数学者は，自分でも気がつかないうちにヒルベルトの影響を受けているともいわれているほどの数学の巨人ヒルベルトが，パリ問題において，リーマン予想と２^（√２）の超越性の証明の難しさを評価することに失敗したことは，たとえ数学の巨人と呼ばれる人であっても，将来を予言することがいかに難しいかを意味する有名な例として，しばしば引用されます．
予想がどれほど的中しないかという例は，科学史上いくらでも求めることができます．予言が的中しないのは予言者の不明に帰すべきでなく，未来を占うことの困難さを教えてくれるのです．
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［補］頭の体操？ 純然たる数学？
ラグランジュの定理は２次形式の問題なので，ｎ次元空間における格子点の配置の問題として幾何学的にも考えることができます．それによると，１から１０までの整数は
（１，２，４，５，８，９，１０），（３，６），（７）
の３群に分けることができます．
すなわち，２個以下の平方数の和で表される整数，３個の平方数の和で表される整数，４個の平方数の和で表される整数というわけです．あるいは，平方数を独立させて，
（１，４，９），（２，５，１０），（３，６），（７）
の４群に分けるほうがよりスマートでしょう．
それでは
（２，３，４，５，７，８，９），（６，１０）
の２群がどのような規則で分けられたものか，各自，考えてみて下さい．
答は２つ以上の異なる素数の積になっているのが（６，１０）です．
６＝２×３，１０＝２×５
素数や４＝２^2，８＝２^3，９＝３^2のように１つの素数のベキ乗になっている数は，（２，３，４，５，７，８，９）の群に入ります．実はこの問題は単なるクイズではなく，れっきとした数学の問題です．
代数学の教えるところによれば，ｎ元の体（加減乗除の演算が定義された集合）が存在するための必要十分条件は，ｎが素数（のベキ乗）になっていることで，位数２，３，４，５の体は存在するが，位数６の体は存在しない．そして，位数７，８，９の体は存在して，位数１０のものは存在しないのです．
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