正多面体は総計１５種類ある

　ｐ角形面およびｑ稜頂点をもつ正多面体，すなわち，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会する正多面体を，シュレーフリにしたがって

を満たさなければなりませんから，このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．

　すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことは比較的簡単に証明できます．このことはギリシャのプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．

　ところで，一松信「正多面体を解く」の改訂版（東海大学出版会）によれば，正多面体の概念を拡張すると，古代に知られていた５種類は，総計１５種類にまで増やすことができるとのことです．

　プラトン立体５種類に，平面充填形３種類と星型正多面体４種類を含めると，正多面体は全部で１２種類になります．しかし，プラトン立体の複合多面体，たとえば，同じ大きさの正４面体２個による相貫体＜ケプラーの８角星＞はダビデの星の３次元版であり，正８面体を芯として，各面にこれと等しい辺をもつ正４面体をつなぎ合わせてできる立体ですが，２４面すべてが正三角形よりなるものの，星形正多面体には通常加えられず，正多面体からも除外されます．→【補】

　小生には残りの３つがどうしてもわかりませんでしたが，そのカギは正多面体・準正多面体による空間充填形にありました．残りの３つをリストアップするためには，発想の転換が必要になるのです．

　正多面体は，ピタゴラス学派には神秘的完全性の象徴のように見え，ギリシャの自然哲学者はこれらを５元素と対応させていますし，ケプラーの宇宙論において，正多面体は惑星の数や相互の距離を決めるものでした．→【補】

　正４面体，立方体，正８面体の３つが存在することは，鉱物の結晶から古くから知られていて，平凡な幾何学的事実といってもよいのですが，正１２面体と正２０面体は結晶形にはなり得ず，かなり遅れて発見されたようです．

　同じ形の多角形のタイルで床を敷き詰める場合を考えると分かりますが，それは５角形や７角形またはそれ以上の辺数の多角形ではあり得ず，それまで知られていた結晶格子は例外なく，すべて正四面体，立方体，正八面体から導かれていたのです．

　実際は，５回対称性を示すものには，切頂二十面体構造をしたフラーレンＣ60の他にも，ホウ素の単体の中には変わり種がたくさんあり，正２０面体上にホウ素原子が１２個ずつ結合したものがあるのですが，ホウ素の単体やある種のウィルスが正２０面体の形をしていることがわかったのは近年になってからのことです．

　５回対称性が自然界に実在する例はピタゴラス学派以前には知られていなかったのですが，正１２面体は，当時シシリー島で多く産出された黄鉄鉱の結晶とよく似ていて（４つの辺だけが等しく残り一つは違っている），それから見つけだされたという説があります．その真偽はともかく，ワイルによると正１２面体と正２０面体の発見は，数学史全体の中でも美しく，もっとも特異な発見の一つとされています．

　（３，６）は正三角形格子，（４，４）は正方格子，（６，３）は正六角形格子のことですが，５種類あるプラトンの立体に，平面充填形（３，６），（４，４），（６，３）を加えておくと何かにつけて都合がよいのですが，これらは，

を満たし，平面充填形は面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体（退化した多面体）と解釈することができるからです．一種の正２面体群と考えることもできましょう．

　１種類の正多角形を使ったタイル張り（プラトンの平面充填形）がプラトン立体の５種類よりも少ないことは容易にわかりますが，全部で３種類あります．それでは２種類以上の正多角形を使ったらどうでしょうか？　それを全部求めてみよといわれたらちょっと大変です．実は，アルキメデスの平面充填形は全部で８種あります．

　まず，どんな多角形を組み合わせたら，頂点のまわりを完全に埋めることができるかを考えてみましょう．頂点のまわりには，正三角形でも６個より多く並べることはできません．しかもこの場合は全部が正三角形に限ります．次に，５個集まる場合は少なくとも正三角形が３個なければなりませんから，結局，５個の組は正三角形３個と正方形２個か，正三角形４個と正六角形１個の場合しかありません．

と書けます．これを満たす３以上の正の整数の組を求めればよいことになります．実際に解いてみると必要条件を満たす組は１７組できますが，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りにならないものが出てきます．結局，求めるタイル張りはただ１種類の正多角形を使う場合の３通りを含めて，１１通りあることになります．

　プラトンの立体と呼ばれる凸型正多面体５種類の他に，４種類の凹型正多面体があります．これらの凹型正多面体は星形正多面体と呼ばれ，ケプラーがみつけた星形小十二面体，星形大十二面体と約２００年後（１８１０年）にポアンソがつけ加えた大十二面体，大二十面体の４種類です．ケプラーは双対に相当する２つの星形正多面体には気づかなかったのです．また，星形正多面体はこの４種類しかないことはコーシーが示しています（１８１３年）．

　ところで，多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，正多面体ではｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅが成り立ちます．さらに，

　オイラーは晩年の１７年間はまったくの盲目でしたが，それにもかかわらず非常に多くの定理，公式を発見していて，量（ｖ－ｅ＋ｆ）はオイラー数と呼ばれます．また，多面体の示性数ｇは，

　オイラーの多面体定理より，凸多面体に対してはｇ＝０となります．ところが，４種類の星形正多面体のうち，２種類はｇ＝０ですが，残りの２種類（星形小十二面体と大十二面体）はｇ＝４になります．ｇ＝４はトポロジカルにいえば穴が４つあるドーナツと同一ですから，ｇ＝０のみを星形正多面体と呼ぶべきだとの主張もあります．星形正多面体には穴があるようには見えませんが，示性数的には穴あきの多面体になっているのです．

　正多面体が１種類の正多角形（正３角形，正方形，正５角形）だけでできているのに対して，２種類以上の正多角形から構成されている立体が準正多面体で，プラトンの立体に対してアルキメデスの立体（Archimedean solid）とも呼ばれています．アルキメデスの平面充填形は全部で８種あるのですが，準正多面体はそれより多く，合計１６種あります．

　多面体をテーマとする本には，たいてい，アルキメデス立体の数は１３種類存在すると書かれていますが，３次元空間では右手系と左手系を区別する必要がありますから，対掌体（鏡映対称性があるもの）を異なるものとして数えると１６種あるというのが正しいのです．

　アルキメデスは準正多面体のうちの１３個知っていましたが，残り３つのうち２つはカタラン（１８６５年），最後の１つはベールによって発見されています（１９４５年）．正多角形，正多面体は円，球に内接・外接しますが，準正多面体は球に内接するだけで外接しません．

　正多面体による空間充填を考えると，立方体を除く正多面体はどれも空間を充填しません．一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのです．

　もし，２種類以上の正多面体を使ってよければ，正四面体と正八面体の二面角が互いに補角ですから，両者を組み合わせて空間充填が可能になります．正多面体同士の組合せでは，正四面体と正八面体を組み合わせたものだけが空間を充填します．このとき，基本平行六面体は２つの正四面体にこれと等しい辺をもつ正八面体をつなぎ合わせてできる斜方平行六面体であって，最密充填格子状球配置は配位数１２の面心立方格子となります．

　一方，２種類以上の正多面体・準正多面体による空間充填については，切頂４面体と正４面体（１：１），切頂立方体と正８面体（１：１），切頂８面体と切頂立方８面体と立方体（１：１：３）の組合せなど，非常に多くの例があります．

　切頂八面体は名前のとおり正八面体の各辺を三等分して頂点を切り取った後に残る準正多面体です．１つの頂点の周りの正多角形をその順に並べて［４，６，６］と表されるのですが，正６角形８枚と正方形６枚の２種類で作る１４面体であって，実は，１６種類の準正多面体のなかで単独で空間充填が可能なのは切頂八面体しかありません．

　切頂八面体は，その空間充填性を研究したケルビンにちなんで，ケルビンの立体としても知られていて，切頂八面体は対心立方格子のボロノイ多面体になっています．なお，アルキメデス立体の面数は８面～９２面あり，１４面をもつアルキメデス立体はすべて立方体か正８面体を切頂して得られます．

　これまででてきた正多面体の中では立方体だけ，準正多面体の中では切頂八面体だけが空間を単独で埋めつくすことができました．それ以外の単独空間充填形となる多面体としては，菱形十二面体があげられます．

　菱形十二面体は対角線の長さの比が１：√２の合同な菱形を１２枚張り合わせたものです．菱形十二面体はざくろ石の結晶としても自然界に産出し，その投影図は正面，平面，側面がすべて正方形になっているという奇妙な投影図形を示します．菱形十二面体は，面が正多角形ではないので準正多面体ではありませんが，面心立方格子のボロノイ多面体になっています．

　対心立方格子と面心立方格子の格子点のボロノイ図は，それぞれ切頂八面体と菱形十二面体ですし，ダイヤモンド格子のボロノイ図は切頂４面体と正４面体の組合せによる空間充填形になります．このように考えれば自然な意味を持たせることができます．

　また，それほど単純でない単独空間充填多面体の例としては，切頂４面体の正三角形部分に正４面体を４分割した扁平な４面体をくっつけたものが知られていますし，また，対称性をもたない凸の空間充填多面体としては，３８面体の例も知られているようです．

　正方形あるいは正六角形の辺同士を，山折り・谷折りを交互に繰り返してジグザグにつなぐと，正スポンジと呼ばれる蜂巣状多面体（海綿状多面体）ができあがります．たとえば，（４，６）というと，正方形を各頂点に６枚ずつ合わせるという意味ですから，角の和が３６０°を超えるので，ジグザグにつなぐことになります．

　正則スポンジは，シュレーフリ記号で表すと（４，６），（６，４），（６，６）の３種類ですが，（４，６）は立方体を積んだ格子からいくつかの立方体を間引いたような形，（６，４）は切頂八面体による空間充填形から，正方形の部分を除いて穴にした形，（６，６）は切頂４面体と正４面体を組み合わせた空間充填形から正４面体の部分を除いて，正三角形の穴にした形として実現できます．

　正スポンジは空間全体を２分し，一方から他方へはどこかの壁を突き抜けない限りいくことができません．また，すべての面が正多角形であるので，れっきとした正多面体です．

　１９２６年，ペトリーとコクセターは３種類の正スポンジを発見したのですが，プラトン立体５種類，平面充填形３種類，星形正多面体４種類と同様に，これらを正多面体と考えるべきだと主張しています．そうだとすると，正スポンジ３種類を含めて，総計１５種類の正多面体があることになります．

としたものですから，それぞれの共役多面体と呼ぶこともできますし，（６，６）については，カゴメ格子（ダビデの星）の６角形の部分が面，三角形の部分が穴の図形を３次元空間内で実現させたものと考えることも可能でしょう．→【補】

　コクセターは正スポンジがこの３種類しかないことを証明しました．また，平面充填形（３，６），（６，３），（４，４）に適当に穴をあけた図形も正スポンジの退化した図形と解釈できますから，同類と見なすことができます．

　準正多面体の定義は，人によっていろいろなのですが，アルキメデスの立体に，アルキメデスの正角柱（Archimedean prism：上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの），アルキメデスの反角柱（Archimedean antiprism：アルキメデスの正角柱を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたもの）を加えることもあります．しかし，各々無限個存在しますから，アルキメデスの立体からは通常除外されます．

　元の立体の頂点の数と面の数を互いに入れ替えた立体を双対多面体といいます．正多面体の双対は正多面体ですが，アルキメデスの立体の双対はアルキメデス双対で，準正多面体とは異なる一群の立体となります．たとえば，菱形十二面体は，立方八面体の各面の中心をつないで余分なところを切り落とすと現れる双対多面体です．また，正角柱の双対は重角錐（dipyramid），反角柱の双対はねじれ重角錐（trapezo-hedron）となります．

　準正多面体の拡張として，一様多面体という概念があります．面が正則（正多角形・星形正多角形），頂点が等価（すべての頂点の周りが一定）である多面体ですが，１９５４年，コクセターらはプラトン立体５種類，アルキメデス立体１３種類，ケプラー・ポアンソの星形多面体４種類，それ以外の５３種類を併せて７５種類あると発表しました．２０年あまり後に，スキリングがコンピュータを使うことによってその証明を与えました．

　また，一様多面体とは別の図形ですが，１９６６年，ザルガラーは正多角面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することを証明しました．これもコンピュータの手を借りることで解決されました．

　すべての面が正三角形で構成されている立体を正三角面体といいます．正４面体，正８面体，正２０面体も含めて，全部で８種類あります．面数の少ない順に並べると，４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０面体で，デルタ１８面体は存在しません．これらは，１９４２年にフロイデンタールによって決定されました．

　ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．

　なお，菱形平行６面体（菱面体）には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，各面の菱形の対角線の長さの比が黄金比１：１．６１８［＝（√５＋１）／２］の黄金六面体です．細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体，５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．

　２種類の菱面体を用いて，３次元を隙間なく埋める非周期的構造を作ることができるのですが，ペンローズのタイル貼りは，三次元空間を２種類の黄金菱面体で非周期的に埋めつくしたときの平面への投影図であり，５回対称性という物質の新しい状態を２次元的に模似したものになっています．

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体－－立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体－－しかありません．

　６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．

　同じ正多面体を中心が重なるように合わせたもので，正４面体を２つ，屋根瓦状にあわせたケプラーの「星形８面体」は最も簡単なものです．このとき，頂点は立方体の頂点をなします．残りの４つは，以下のものになります．

　コンピュータの援助を借りて証明された悪名高き定理に，４色定理（１９７６年）があります．平面上あるいは球面上の地図については，塗り分けに４色必要というのが４色定理ですが，それでは

　　（答）正４面体ではどの面も互いに接していますから，塗り分けにはどうしても４色必要です．立方体では相対する面を同じ色にすれば３色で塗り分けられます．正８面体は交互に２色で塗り分けられます．正１２面体は少し難しくなりますが，４色を公平に３回ずつ使って可能になります．正２０面体は３色で可能です．

　ケプラーは惑星運動の法則を発見した天文学者として有名ですが，超がつくほどのピタゴラス・プラトン主義者であり，世界は数学的な調和，幾何学的秩序に従っていると確信していました．彼の初期の著作「宇宙の神秘」では，太陽系の惑星の軌道を無数にある立体の中で明確な法則性をもっている立体（５種類の凸型正多面体）で幾何学的に説明しようとしていたことはよく知られています．

　また，「宇宙の神秘」から２３年後の「世界の調和」の中で速く回転する天体ほど高い音を発し，その結果，天球全体が一つの音楽を奏ででいると考え，ピタゴラス音階による天球の音楽について一層詳細な論を展開しています．ケプラーの考えを非科学的なこじつけということはやさしく，今日から見れば，真理・正論ではないにしろ，正多面体やピタゴラス音階を宇宙論に導入したケプラーの美しい考え方＜宇宙の調和論＞には驚かされます．

　さらに，ケプラーは「新年の贈り物・六角形の雪の結晶について」のなかで，雪の結晶が正六角形をしているのはなぜかと考え，史上初めて菱形十二面体をみつけました．菱形十二面体（超正六角形）は２次元における正六角形に相当しますから，４次元における雪の結晶の形だと考えることができます．

　アーサー・ケストナー（物理学者で小説家）によると，人類史上，全宇宙を総合的に企画構成し世界を統一原理で理解しようとしたのは，プラトンとケプラーだけとのことですが，ケプラーは無意識のうちに４次元に近づいていたことになります．

　同じ大きさの正３角形２個のうち，１個を天地逆転させ，もう１個の正３角形に重ねると，星形６角形ができます．これはダビデの星と呼ばれて，イスラエルの国旗にも使われ，ユダヤ人の象徴とされています．

　星形６角形では内側に正６角形ができますが，外側のとがった角を結んでも正６角形ができます．すなわち，星形６角形は外側を正６角形が取り囲んでいて，内側にも正６角形が入っていることがわかります．それでは，・・・

（答）複合多面体とは，いくつかの多面体を中心がすべて一致するように重ね合わせたもので，多面体が同じくらいの大きさならば，互いに交わったり，ある面が他の面を突き抜けたりします．

　この問題はダビデの星の３次元版で，同じ大きさの正４面体２個による屋根瓦状の相貫体にはケプラーの８角星という名前がつけられています．最も簡単な複合多面体なので，これが頭の中でイメージできれば答は簡単なのですが，勘の働きにくい問題でもあります．

　上から見ても，前から見ても，横から見ても，同じ６角形に見える３次元図形を想像されますが，ところが，外側に立方体（正方形６面），内側に正８面体（正３角形８面）が正解なのです．

　小生はこの問題を「ダビデの星・ケプラーの星」と呼んでいます．「ダビデの星」では正三角形と正六角形が互いに隣接していますが，それが周期的な格子をつくったものが「カゴメ格子」です．「カゴメ格子」は，文字通り，竹篭編みにみられる篭の目の結び目を作る格子であり，日本人が最も愛好した文様のひとつです．ちなみに「カゴメ」は世界でも通用する呼び名とのことです．

　ついでに，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体の相貫体について考えてみましょう．立方体と正８面体の相貫体は，外側を菱形１２面体（直交する対角線の比が１：√２の菱形１２面）が，内側には立方８面体（正方形６面＋正３角形８面）が入っています．正１２面体と正２０面体の相貫体では，外側を包む立体が菱形３０面体（直交する対角線の比が黄金比になっている菱形３０面），内側には１２・２０面体（正５角形１２面＋正３角形２０面）という多面体が内包されているのです．（正多面体とその双対多面体との共通部分は，正８面体，立方８面体（６・８面体），１２・２０面体です．）

　正多面体の各面の中心（重心）を順に結んで立体を作ると，もとの正多面体と面と頂点の関係が逆向きの正多面体ができます．互いに表と裏の関係にある多面体を双対多面体といいます．正四面体ではふたたび正四面体ができ，正六面体では正八面体が，逆に正八面体では正六面体が，また，正十二面体では正二十面体が，逆に正二十面体では正十二面体ができます．したがって，正四面体は自己双対であり，正六面体と正八面体，正十二面体と正二十面体とは互いに双対です．このことにより，正多面体は，｛正四面体｝，｛正六面体と正八面体｝，｛正十二面体と正二十面体｝の３つのグループに大別することができます．

　３種類の相貫体－－正４面体と正４面体，立方体と正８面体，正１２面体と正２０面体－－について調べてみると，それぞれの立体の間に双対関係があり，３種類の相貫体の外側にできる立体と内側にできる立体－－立方体と正８面体，菱形１２面体と立方８面体，菱形３０面体と１２・２０面体も互いに双対関係をもっていることがわかります．そして，これらもやはり相貫体をつくることができ，そしてまたそこに現れてくる外側と内側の立体も双対関係になっています．頂点と面に関しての双対性にはうまくできているなと感嘆させられます．自然界の法則性，自然が作るきれいな関係の１例といえましょう．