ここ２週間ほど中国へ出張．ＷＴＯに加盟し，オリンピックを間近に控えた活気あふれる中国を実感してきた．感想を列記すると，

　

　　１）毎年１０％近い国民総生産の伸びを示しているにも関わらず，その間，物価はまったく上がっていないという超安定成長．

　　２）東北部（旧満州）にいても新鮮な野菜や魚，トロピカルフルーツまでもがふんだんに入手できるほどの高速道路網の整備．

　　３）自動車の普及速度は，道路を造っても造っても足りないという感じ（ただし，交通事故多し）．

　　４）携帯電話の高い普及率．

等々．

　

　中国のＧＤＰは世界の５指に入ったはずであるし，もはや中国は発展途上国ではない．また，モノを生産して儲けるという点では，日本以上に健全な産業資本主義国家といえるであろう．社会主義国という面影は微塵もなかったのである．

　

　その一方において，

　　５）石炭のなま炊きによるスモッグの発生

も体験．石炭といっても，亜炭・泥炭のような品質の低いものであるから，大量の煙がでるし，北京や長春のような内陸部では海風でスモッグが希釈されることもないから，とくに冬場は町全体がもうもうとしているのである．

　

　ご存知と思われるが，中国は世界有数のＣＯ2排出国であり「公害大国」となっている．今後は経済援助（戦後賠償という側面があることは否めない）よりも環境面での協力支援が望まれよう．

　

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【１】誤差伝播の法則（propagation of error）

　

　さて，今年もいよいよ大詰めである．そろそろ，自分自身の奮戦記をまとめておきたいものである．その際，私にとって今年１年を通してのキーワードはなんといっても「誤差伝播の法則」ということになる．

　

　これまでのデータ解析法は，いわば情報のもつ平均的な指標だけを抽出するものであったが，現在はその精度を保証すること，すなわち「精度保証つき計算」が要求されている．その際，精度を保証してくれるのが，誤差伝播の法則である．

　

　また，測定データには誤差がつきものだが，誤差伝播の法則を用いて誤差解析を適切に行えば，誤差を最小限に抑えることができるようになる．その結果，最小の実験費用（実験にかかる時間とコスト）の下で得られるべき情報量を最大にすることができるようになる．

　

　このように，誤差解析によって作業能率を向上させることが可能になるのであるが，「誤差伝播の法則」に関係するコラムとしては以下のものがあげられる．

　　　「精度保証つき非線形解析（データ解析の新しい展開）」

　　　「積分値の誤差と誤差の積分値」

　　　「ｎ次元楕円の陰と影」

　　　「モンテカルロ法と乱数発生法」

　　　「私説・統計学（精度保証と誤差法則）」

　　　「正規楕円とｔ楕円」

　　　「ｔ分布の乱数発生アルゴリズム」

　　　「Dr. Chameleon's conjecture」

　

　コラム「精度保証つき非線形解析」「私説・統計学」では，教科書にある誤差伝播の公式は不完全な形で記載されていることが多く，そのため，y=f(x,θ)型回帰の信頼区間が過大評価されていることを喚起しておいた．

　

　不完全な形というのは，

　　（Δｚ）^2＝（Δａ）^2＋（Δｂ）^2＋（Δｃ）^2＋・・・

の形の式のことであるが，この式は幾何学的にいえばピタゴラスの定理にほかならない．ところが，実際例に応用してみるとまだまだ誤差が大きすぎて，実用性には乏しいのである．

　

　改良の余地ありということで，ピタゴラスの定理を一般化して得られる余弦定理にあたる誤差公式を考えてみることにした．それが，

　　（Δｚ）^2＝（Δａ）^2＋（Δｂ）^2＋（Δｃ）^2＋・・・

　　　　　　　　　＋２ΔａΔｂ＋２ΔｂΔｃ＋２ΔｃΔａ＋・・・

であり，ここで（Δａ）^2は分散，ΔａΔｂは共分散を表す略号とする．

　

　この改良式は母数間の相関を考慮したものであるが，見方を変えれば，楕円の一般式になっていることに注意されたい．すなわち，２つ（３つ）の母数がある場合，その同時信頼区間は長方形（直方体）領域で与えられるものではなく，楕円（楕円体）となることを示しているのであって，幾何学的には２次元ならば長方形に内接する楕円，３次元ならば直方体に内接する楕円体すなわちラグビーボール状態を考えることに相当している．

　

　そして，相関係数が０に近いときには長方形が第０近似解となるような太った楕円が与えられるが，相関が大きいほど細長い楕円になるから，相関が考慮されることによって，誤差は一回り減少することがおわかり頂けよう．

　

　これらのことを定量的に計算したのが，コラム

　　　「ｎ次元楕円の陰と影」

　　　「モンテカルロ法と乱数発生法」

　　　「正規楕円とｔ楕円」

　　　「ｔ分布の乱数発生アルゴリズム」

　　　「Dr. Chameleon's conjecture」

である．直方体は楕円体領域の近似解にすぎないのであるが，これらのコラムでは，パラメータの信頼区間が正規分布ならば，対応する母数空間はχ^2分布で規定される楕円体領域，パラメータの信頼区間がｔ分布で与えられるとき，母数空間はＦ分布によって規定される楕円体領域となることを示しておいた．

　

　また，相関が考慮されることによって，誤差は一回り減少するという直観的な幾何学的表現を解析的に評価したのが「Dr. Chameleon's conjecture」である．

　　ａ）　Πσii≧｜Δ｜

　　ｂ）　Σσiiｇi^2≧ΣΣσijｇiｇj＝ｇΔｇ’

　

　とくに，ａ）は母数空間における対角成分の積と行列式の値の関係を述べたもので，「母数同士の相関を考えることによって，母数空間の大きさは小さくなる」ことを数式で表現したものである．この式は「平行六面体の体積はノルムの積によって上から抑えられる」というアダマールの不等式を使って肯定的に証明された．

　

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【２】積分型に対する誤差伝播の法則

　

　さて，y=f(x,θ)型回帰の信頼区間は

　　（Δｙ）^2＝ΣΣ（ｄｆ／ｄθi）（ｄｆ／ｄθj）cov（θi，θj）

と書くことができるのだが，次に，サンゴ礁における日照−炭素固定データの解析に対して，誤差伝播の法則の積分型とその離散型モデルの公式を提示する必要に迫られた．

　

　その問題は「積算値Ｙ＝∫ｙｄｘ，あるいはＹ＝ΣｙΔｘの誤差はどのように表されるのであろうか？」という問題に定式化できるのであるが，誤差伝播の法則を積分形式に対しても適用できるように拡張することが求められたのである．

　

　もちろん，注文に応じて問題解決の手助けをするだけでは物足りない．頭をひねってあれこれの理論をあみだし，具体的な公式を提示し伝えることこそが自分に課せられた使命と考えているから，この注文は自分にうってつけのものだった．

　

　簡単な統計的手法を用いて，うまくpropagation of error for integrated formを導き出すことができたのであるが，それが，

　　（ΔＹ）^2＝ΣΣ（∫ｄｆ／ｄθi）（∫ｄｆ／ｄθj）cov（θi，θj）

である．

　

　この式は誤差伝播の法則さえ知っていれば自明だと思われるかもしれない．しかし，決してそうではない．多くの人は「積分値の誤差」を求めるつもりで，間違って「誤差の積分値」を求めてしまうだろう．誤差伝播の法則を完全にマスターしていてこそ，初めてこの公式が導きだせるのである．

　

　この式によって，

　　１）モンテカルロ法よりも格段に優れた計算精度と計算速度を得ることができた

ことで，

　　２）サンゴ礁は大気中のＣＯ2削減に大きく寄与していることが証明された

ことになるが，この式なしではＣＯ2収支計算の誤差が大きく，サンゴ礁がＣＯ2削減に役立っているかどうかすらわからなかったはずである．

　

　これらの結果については，近々，

　　タイトル：Organic carbon flux in Shiraho coral reef (Ishigaki Island, Japan)

　　雑誌名：Marine Ecology Progress Series

がでるようであるから，ぜひご参照を願いたい．

　

　皮肉なことに，積分形式の誤差伝播の法則に対しては，論文の共著者（東大学派）よりも，査読者（フランス学派）のほうが高く評価してくれたようであるが，いずれにせよ，この公式によってデータロジストの面目躍如たるものがあったと自負している．

　

　また，これに関連して，コラム「積分値の誤差と誤差の積分値」のなかで，シュワルツの不等式を用いて「積分値の誤差は，誤差の積分値よりも大きい」ことが証明できた．このような場合の誤差伝播の法則の取り扱いを考えてみることは，誤差解析にとっても，自分自身の知的基盤をさらに拡大させるためにも，大変重要なことと考えられる．近い将来，論文の著者である秦先生（現・ハザマ・技術研究所）の学位論文にとっても重要な公式となることを期待している．

　

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【３】フォークト関数の計算

　

　新しい公式「積分形に対する誤差伝播の法則」に引き続き，フォークト関数のヤコビアンや定積分値の新しい計算法を開発したことも述べておきたい．

　

　フォークト関数とは，ガウス関数（Gaussian，正規分布）とローレンツ関数（Lorentzian，コーシー分布）の畳み込み（convolution）で与えられる関数である．それはラプラス変換によって

　　h(z)=1/πσ∫(0,∞)exp(-t^2/2-βt/σ)cos{(α+μ-z)/σt}dt

と表される．

　

　Ｘ線，γ線などの電磁波はそれぞれの線スペクトルに固有の幅と分布をもっていて，光の線スペクトルのようなコーシー分布を示すものを分光器で測定したとすると，分光器には固有の分解能があり，それは正規分布で近似できることが多いわけであるから，測定したスペクトルの分布はコーシー分布と正規分布を合成したものになる．すなわち，スペクトル曲線はローレンツ型（コーシー分布）でもガウス型（正規分布）でもなく，両者が混合した中間の形（フォークト型）が多くなるが，フォークト関数の密度関数は積分関数を含んでおり，このままでは実際のスペクトル線の信号解析が困難である．

　

　そこで，苦肉の策として，

　　１）自由度２か３か４のｔ分布

　　２）ガウス・エルミート法による数値積分

を使って代用する方法も考えられる．ところが，東北大学・薬学部の外山先生が所望しているのは，Voigt関数を数値的にではなくて，解析的に表現するのが目的であり，その希望に応えるべく，超幾何関数，放物柱関数，あるいは，複素誤差関数を用いた計算法を考えることになった．

　

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　昨年は「超幾何関数を用いた確率分布の計算」を開発したが，今年は「フォークト関数の計算」に注力している．（その１）から（その７）まで計７作のコラムを書いたが，その履歴を振り返ってみたい．

　

　一連のシリーズ（その１〜その４）では，Voigt関数を

　　1)超幾何関数経由（±クンマー変換）

　　2)放物柱関数経由

　　3)複素誤差関数経由

で計算する解析的な解を求めるプログラムを作成した．ところが，これらの計算プログラムの試運転したところ，困ったことが発生した．分布の中央部の計算は正確なのだが，裾の部分の計算が発散してしまうのである（その５）．

　

　これらはいずれもVoigt関数のベキ級数展開に基づくものであって，とくにピーク付近（最も重要な部分）では申し分ない精度がでているのだが，その反面，収束域が狭いという欠点が露呈したことになる．

　

　ベキ級数展開するとｘの小さいところの精度は抜群なのだが，ｘの大きい裾の部分で計算が発散してしまうという欠点があることがわかった．そこで，ｘが大きいところの計算を正確に行うために必要になるのが「漸近展開」である（その６）．

　

　漸近展開（ローラン展開）はｘの大きいときに正確な値がでるのだが，ｘが小さいときは発散してしまった（その７）．逆に，ベキ級数展開（テイラー展開）に基づく方法は，ｘの小さいところで正確だが，ｘが少し大きくなると発散してしまい，両者はまったく正反対の結果となった．

　

　一方，漸近展開を「連分数展開」に直すと広い収束域をもつことが知られている（その６）．ラプラス・ヤコビの式：

　　exp(z^2)Erfc(z)=1/2z 1/2z^2 1/z^2 3/2z^2 2/z^2

　　　　　　　　　　 1+　　1+　　1+　　 1+　　1+

を利用した漸近展開（連分数変換）は広い収束域をもち，連分数展開によって収束半径の制限は解消されたが，このように，連分数展開は元になる漸近展開（ローラン展開）と比べて，収束半径が大きいことが特長である．

　

　もちろん，ラプラス・ヤコビの式は漸近展開を連分数に直したものであって，本質的に漸近展開であることには変わりない．したがって，ｘの小さいところでの精度はベキ級数展開より劣っているし，どちらかといえば，精度は数値積分並みといってもよいだろう．しかし，収束半径が大きいというメリットは何物にも代え難いし，捨てがたいものがあると考えられた．

　

　たった１つの方法であらゆる場合の計算が可能であればそれに越したことはないのだが，結論的にはかなり難しそうである．したがって，Voigt関数の高精度計算では２つの方法を組み合わせること，すなわち，ｘの小さいところで正確な方法（ベキ級数）とｘの大きいところで正確な方法（漸近展開＋連分数変換）を切り替えることが現実的であり，かつ，正当ではないかと考えられた．どこをその境にするかは問題があるところなのだが，・・・

　

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【４】数学小咄

　

　今年の「閑話休題」では実に多くの数学の話題を取り上げた．これまでも幾何の話題を取り上げることは多かったのであるが，とくに微分幾何のジャンルが多いことが今年の特徴であろうか？

　

　　　「等周問題（変分の問題）」

　　　「多様体の微分幾何？」

　　　「高次元の球と立方体の断面積」

　　　「ルベーグ積分とは何か？」

　　　「平行曲線と特異点」

　　　「代数学小史」

　　　「代数幾何学小話」

　　　「アステロイドの微分幾何学」

　

　「多様体の微分幾何？」は，小生がその頃に取り組んでいたテーマ「母数の同時信頼区間を求める問題」に関連して書き上げたコラムである．個々の母数に対する個別の信頼区間は容易に作ることができるが，たとえば，２つの母数が存在する場合，その同時信頼区間は長方形領域で与えられるものではなく，楕円領域となる．したがって，多くの母数の同時信頼区間を求めることは，詰まるところ「ｎ次元楕円を２次元平面に投影した際の影の形の関数式を求めること」に帰着する・・・．この問題には難渋させられたが，その解決編になっているのが，前述した

　　　「ｎ次元楕円の陰と影」

　　　「正規楕円とｔ楕円」

である．

　

　また，コラム「ルベーグ積分とは何か？」に書かれているルベーグ積分の重要な定理は，積分形に対する誤差伝播の法則やフォークト関数のヤコビアンを求める際に大きな役割を果たしてくれた．ルベーグ積分の定理

　　(1)項別積分に関するルベーグの優収束定理

　　(2)積分の順序交換に関するフビニの定理

　　(3)微積分の基本定理の一般化であるルベーグの微分定理

　　(4)ラドン・ニコディムの定理

は今年一年の影の主役といってよいかもしれない．

　

　最近，自分がこれまでやってきたことが，一本の糸という意味で，系統的であったという手応えを実感できるようになった．また，自分では結構創造的な仕事をしてきたつもりでいるのだが，私にとっては自分の研究が歴史に残ることよりも，どれだけ世の中の役に立つかが大切なポイントであって，具体的な点でもずいぶん貢献できたと自負している昨今である．

　

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