■奇数ゼータと杉岡の公式（その８）
（その７）で気づいたことであるが，（その６）に掲げた
Σsin(2nx)/n=π/2-x（１次式）
Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12（２次式）
Σsin(2nx)/n^3=1/12{π^3-2π^2x+(2x-π)^3}（３次式）
Σcos(2nx)/n^4=1/48{2π^2(2x-π)^2-(2x-π)^4-7π^4/15}（４次式）
Σsin(2nx)/n^5=x/90{π^4-10π^2x^2+15πx^3-6x^4}（５次式）
は，それぞれ１〜５次のベルヌーイ多項式のフーリエ展開になっていた．
一般に，ベルヌーイ多項式のフーリエ展開は
Bn(x)=-2n!/(2π)^nΣcos(2πkx-πn/2)/k^n
で表される．また，その兄弟分にあたるオイラー多項式のフーリエ展開は
En(x)=4n!/π^(n+1)Σsin((2k+1)πx-πn/2)/(2k+1)^n+1
で表されることがわかっている．
このことから，０〜３次のオイラー多項式のフーリエ展開が
Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4（０次式）
Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^2=π(π-2x)/8（１次式）
Σsin((2n-1)x)/(2n-1)^3=πx(π-x)/8（２次式）
Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^4=π/96(π^2-6πx^2+4x^3)（３次式）
となることは容易に確かめられよう．
先日，杉岡幹生氏より「ベルヌーイ多項式でやったのと同様のこと，つまり，オイラー多項式のフーリエ展を元にして次々と偶数ゼータと奇数Ｌ関数を求めていくことは可能なのか？」という質問を受けた．オイラー多項式はベルヌーイ多項式の兄弟分にあたるので，直観的にもこのことは確かと思われ，煩をいとわなければすぐにでも検証できることである．
ベルヌーイ多項式から得られる結果とほとんど同じものになるはずであり，当初はありきたりの結果しか得られないのではと考えられたのだが，計算中，面白い（？）ことに気づいた．どの公式集にも載っていないような目新しい式が現れたのである．今回のコラムでは，そのことについて報告したい．
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【１】質問への回答
ベルヌーイ多項式では
x=π/2 x=π/4
Σcos(2nx)/n^s -(1-2^(1-s))ζ(s) -2^(-s)(1-2^(1-s))ζ(s)
Σsin(2nx)/n^s ０ L(s)
であったが，オイラー多項式の場合，
x=π/2 x=π/4
Σcos(2n-1)x/(2n-1)^s ０ L1(s)/√2
Σsin(2n-1)x/(2n-1)^s L(s) L2(s)/√2
となる．
ここで，
ζ(s)=1/1^s+1/2^2+1/3^s+1/4^s+･･･
L(s)=1/1^s-1/3^s+1/5^s-1/7^s+･･･
で，Ｌ(s)はディリクレのＬ関数の最も簡単な形である．
それにならって，Ｌ1，Ｌ2関数を
L1(s)=1/1^s-1/3^s-1/5^s+1/7^s+･･･
L2(s)=1/1^s+1/3^s-1/5^s-1/7^s+･･･
と定義した．もちろん，これらは小生が勝手に定義した関数であり，正式な名前ではない．仮称に過ぎないことをお断りしておく．
Ｌ関数の分母には奇数が交代で＋−＋−・・・とでてくるのに対し，Ｌ1では＋−−＋・・・，Ｌ2では＋＋−−・・・の順にでてくる．したがって，ｓ≧１に対して
Ｌ1(s)＜Ｌ(s)＜Ｌ2(s)
となることが理解される．
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偶数ゼータと奇数Ｌが明示的に得られていることはすでに説明したとおりであるが，以下の計算より，偶数Ｌ1と奇数Ｌ2は偶数ゼータだけで表せること，したがって明示的に表せることがわかった．
Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4（０次式）
からスタートすると，
x=π/2 x=π/4
（０回積分） L(1)=π/4 L2(1)=π/4*√2
（１回積分） ζ(2)=π^2/6 L1(2)=π^2/6*√2
（２回積分） L(3)=π^3/32 L2(3)=3π^3/128*√2
（３回積分） ζ(4)=π^4/90 L1(4)=11π^4/1536*√2
（４回積分） L(5)=5π^5/1536 L2(5)=57π^5/24576*√2
Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^2=π(π-2x)/8（１次式）
からスタートすると，
x=π/2 x=π/4
（０回積分） 0=0 L1(2)=π^2/6*√2
（１回積分） L(3)=π^3/32 L2(3)=3π^3/128*√2
（２回積分） ζ(4)=π^4/90 L1(4)=11π^4/1536*√2
（３回積分） L(5)=5π^5/1536 L2(5)=57π^5/24576*√2
（４回積分） ζ(6)=π^6/945 L1(6)=361π^6/491520*√2
Σsin((2n-1)x)/(2n-1)^3=πx(π-x)/8（２次式）
では，
x=π/2 x=π/4
（０回積分） L(3)=π^3/32 L2(3)=3π^3/128*√2
（１回積分） ζ(4)=π^4/90 L1(4)=11π^4/1536*√2
（２回積分） L(5)=5π^5/1536 L2(5)=57π^5/24576*√2
（３回積分） ζ(6)=π^6/945 L1(6)=361π^6/491520*√2
（４回積分） L(7)=61π^7/184320 L2(7)=307π^7/1310720*√2
Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^4=π/96(π^2-6πx^2+4x^3)（３次式）
では，
x=π/2 x=π/4
（０回積分） 0=0 L1(4)=11π^4/1536*√2
（１回積分） L(5)=5π^5/1536 L2(5)=2281π^5/24576*√2
（２回積分） ζ(6)=π^6/945 L1(6)=57π^5/24576*√2
（３回積分） L(7)=61π^7/184320 L2(7)=307π^7/1310720*√2
（４回積分） ζ(8)=π^8/9450 L1(8)=172277π^8/2312110080*√2
となる．
今度は逆に微分してみる．
Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^2=π(π-2x)/8（１次式）
を微分することにするが，
（０回微分） Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^2=π(π-2x)/8（１次式）
（１回微分） Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4（０次式）
（２回微分） Σcos((2n-1)x)=0
（３回微分） Σ(2n-1)sin((2n-1)x)=0
（４回微分） Σ(2n-1)^2cos((2n-1)x)=0
（５回微分） Σ(2n-1)^3sin((2n-1)x)=0
（６回微分） Σ(2n-1)^4cos((2n-1)x)=0
３回微分以降，右辺はすべて０になる．
そして，
x=π/2 x=π/4
（０回微分） 0=0 L1(2)=π^2/6*√2
（１回微分） L(1)=π/4 L2(1)=π/4*√2
（２回微分） 0=0 L1(0)=0
（３回微分） L(-1)=0 L2(-1)=0
（４回微分） 0=0 L1(-2)=0
（５回微分） L(-3)=0 L2(-3)=0
（６回微分） 0=0 L1(-4)=0
となって，ここには負の偶数Ｌ1と奇数Ｌ2とが現れ，いずれも０となる．
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【２】まとめ
ｘ＝π／２を代入したときは，予想通り，既知の偶数ゼータと奇数Ｌの値ばかりであるが，ｘ＝π／４では偶数Ｌ1と奇数Ｌ2の値が明示的に求められ，それらは偶数ゼータの有限和で表されることがわかった．
今回はベルヌーイ多項式の代わりにオイラー多項式を用いたが，やはり奇数ゼータに対しては依然無力であった．奇数ゼータに対して有力な式は，いまのところ
Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2
しかないのである．
この式に対して，
ベルヌーイ多項式 ←→ オイラー多項式
のような対応式を掲げておくが，
Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2 ←→ Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2*log(cot(x/2))
である．
これまでにわかっていることをもう一度整理しておきたい．
(1)奇数ゼータと偶数Ｌは偶数ゼータの無限和として表される
(2)奇数Ｌ，偶数Ｌ1，奇数Ｌ2は偶数ゼータの有限和で表される
最後に，このことに関する杉岡氏のコメントを伝えたいのだが「偶数ゼータがすべてのＤＮＡになっているように思える」とのことであった．偶数ゼータと比べると，奇数ゼータはかなり人工的な感じがするというのである．まさに同感であるが，いかがであろうか？
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