杉岡幹生氏は，その後，公式

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

　　(π/2-x)^2=Σcos(2nx)/n^2+π^2/12

の右辺が左辺のフーリエ展開となっていることに着目して，新しいゼータ公式を導くのに利用できそうなフーリエ級数型の公式をＨＰ上にいくつか掲げておられます．もちろん，その中にはロバチェフスキー関数なども含まれています．

　

　今回のコラムでは，それらの公式とは別に（その３）で遣り残した宿題

　　xlogx-2πΣζ(2n)/2n･(x/π)^(2n+1)=-Σxcos(2nx)/n-xlog2

を出発点にして，それからｌｏｇπを消去した４^(2n)型公式を導こうと考えました．

　

　４^(2n)型公式とは，

　　ζ(3)=-4π^2/7･Σζ(2n)/(2n+1)(2n+2)2^2n

　　ζ(5)=4π^2/31ζ(3)+8π^4/31･Σζ(2n)/(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)2^2n

　　ζ(7)=-8π^4/1143ζ(3)+64π^2/381ζ(5)-64π^6/381･Σζ(2n)/(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)2^2n

のような形の公式で，分母が２^(2n)ではなく，４^(2n)に変わったものです．

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【１】杉岡の公式（その２の再考）

　

　　xlogx-2πΣζ(2n)/2n･(x/π)^(2n+1)=-Σxcos(2nx)/n-xlog2

を（０回積分）としましょう．すると（１回積分）は

　　x^2logx/2-x^2/4-2π^2Σζ(2n)/2n(2n+2)･(x/π)^(2n+2)=-Σxsin2nx/2n^2-Σ(cos2nx-1)/4n^3-x^2log2/2

となります．

　

　以下同様に，

（２回積分）

　　x^3logx/6-53x^3/36-2π^3Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)･(x/π)^(2n+3)=Σxcos2nx/4n^3-Σsin2nx/4n^4+ζ(3)x/4-x^3log6/2

（３回積分）

　　x^4logx/24-13x^3/288-2π^4Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)･(x/π)^(2n+4)=Σxsin2nx/8n^4+Σ3(cos2nx-1)/16n^5-ζ(3)x^2/8-x^4log2/24

（４回積分）

　　x^5logx/120-77x^5/7200-2π^5Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)･(x/π)^(2n+5)=Σxcos2nx/16n^5+Σsin2nx/8n^6-3ζ(5)x/16-ζ(3)x^3/24-x^5log2/120

（５回積分）

　　x^6logx/720-29x^6/14400-2π^6Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)･(x/π)^(2n+6)=Σxsin2nx/32n^6-Σ5(cos2nx-1)/64n^7+3ζ(5)x^2/32-ζ(3)x^4/96-x^6log2/720

　

　それぞれにx=π/2，x=π/4を代入します．まず，（０回積分）にx=π/2を代入すると

　　Σζ(2n)/2n･2^2n=1/2･logπ-1/2･log2

x=π/4を代入すると

　　Σζ(2n)/2n･4^2n=1/2･logπ-3/4･log2

　

　（１回積分）にx=π/2を代入したものは（その２）で既出の

　　ζ(3)=2π^2/7logπ-π^2/7-8π^2/7･Σζ(2n)/2n(2n+2)2^2n

x=π/4を代入すると

　　ζ(3)=4π^2/35log(π/2)-2π^2/35-16π^2/35･Σζ(2n)/2n(2n+2)2^4n+16π/35･L(2)

　

　（２回積分）にx=π/2を代入すると

　　ζ(3)=2π^2/3logπ-5π^2/9-8π^2･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)2^2n

x=π/4を代入すると

　　ζ(3)=4π^2/87log(π/2)-10π^2/261-16π^2/29･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)4^2n+128/29π･L(4)

　

　（３回積分）にx=π/2を代入したものは（その２）で既出の

　　ζ(5)=-2π^4/279logπ+13π^4/1674+8π^2/93ζ(3)+32π^4/93･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)2^2n

x=π/4を代入すると

　　ζ(5)=-4π^4/4743log(π/2)+13π^4/14229+64π^2/1581ζ(3)+64π^4/1581･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)4^2n+256π/1581･L(4)

　

　（４回積分）にx=π/2を代入すると

　　ζ(5)=-2π^4/495logπ+7π^4/1350+8π^2/99ζ(3)+32π^4/33･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)2^2n

x=π/4を代入すると

　　ζ(5)=-4π^4/22815log(π/2)+77π^4/342225+64π^2/4563ζ(3)+64π^4/1521･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)4^2n+4096/1521π･L(6)

　

　（５回積分）にx=π/2を代入したものは（その２）で既出の

　　ζ(7)=-28π^6/57150logπ-116π^6/571500-8π^4/1905ζ(3)+96π^2/635ζ(5)-128π^6/635･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)2^2n

x=π/4を代入すると

　　ζ(7)=8π^6/1857375log(π/2)-232π^6/37147500-64π^4/123825ζ(3)+3072π^2/41275ζ(5)-256π^6/41275･Σζ(2n)/2n(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)4^2n+4096π/41275･L(6)

　

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【２】まとめ

　

　整理してみると

　　　　　　　　　x=π/2　　　　　　　　　　x=π/4

　（０回積分）　　ζ(2n)　　　　　　　　　　ζ(2n)

　（１回積分）　　ζ(3),ζ(2n)　　　　　　　ζ(3),ζ(2n),L(2)

　（２回積分）　　ζ(3),ζ(2n)　　　　　　　ζ(3),ζ(2n),L(4)

　（３回積分）　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n)　　　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n),L(4)

　（４回積分）　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n)　　　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n),L(6)

　（５回積分）　　ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n)　ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n),L(6)

の関係式が得られたことになります．

　

　 x=π/4を代入した式は分母が4^2nとなるので収束は速いのですが，

　　xlogx-2πΣζ(2n)/2n･(x/π)^(2n+1)=-Σxcos(2nx)/n-xlog2

を出発点とした４^(2n)型公式では，２^(2n)型公式とは違って，どうしても偶数Ｌが出現してしまいます．

　

　（その３）で計算した

　　logx-2Σζ(2n)/2n･(x/π)^(2n)=-Σcos(2nx)/n-log2

を出発点とする４^(2n)型公式

　　　　　　　　　x=π/2　　　　　　　　　　x=π/4

　（０回積分）　　ζ(2n)　　　　　　　　　　ζ(2n)

　（１回積分）　　ζ(2n)　　　　　　　　　　ζ(2n),L(2)

　（２回積分）　　ζ(3),ζ(2n)　　　　　　　ζ(3),ζ(2n)

　（３回積分）　　ζ(3),ζ(2n)　　　　　　　ζ(3),ζ(2n),L(4)

　（４回積分）　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n)　　　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n)

　（５回積分）　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n)　　　　ζ(5),ζ(3),ζ(2n),L(6)

　（６回積分）　　ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n)　ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n)

の場合と比較してみて下さい．２回積分，４回積分，６回積分にはＬ(2n)が出現しない点が異なっているでしょう．

　

　これで所期の目的は断念せざるを得なくなったのですが，このことから

　　Ｌ(2n)も偶数ゼータの無限和で表される

ことがわかりました．奇数ゼータと同じことになったのですが，杉岡氏のご指摘の如く，これはこれで面白い結果と考えられます．

　

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