■奇数ゼータと杉岡の公式（その３）
今回のコラムでは「杉岡の公式」のその後についてお知らせします．つい最近，杉岡氏は負の奇数ゼータ
ζ（−１）＝−１／１２
ζ（−３）＝１／１２０
ζ（−５）＝−１／２５２
ζ（−７）＝１／２４０
ζ（−９）＝−１／１３２
ζ（−１１）＝６９１／３２７６０
ζ（−１３）＝−１／１２
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ζ（１−２ｎ）＝−Ｂ2n／２ｎ
を求める初等的な方法を見出しておられます．
正の奇数ゼータの場合，
log(sinx)＝-Σcos(2nx)/n-log2
の両辺を(0,x)で積分して，２回積分するごとにx=π/2を代入するというものでしたが，２回微分するごとにx=π/2を代入すると，負の奇数ゼータ
ζ（−１）＝−１／１２
ζ（−３）＝１／１２０
が次々に求まるのです．
早速試してみたいのですが，計算の都合上，まず基礎的なところを整理しておきたいと思います．
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【１】ゼータ関数とＬ関数
ゼータ関数は，オイラーの無限級数をｓの関数とみるとき，
ζ(s)＝Σ１／ｎ^s
＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・
として定義される関数です．すなわち，ゼータ関数は調和級数
Ｈ∞ ＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
を一般化したものと考えることができます．
ゼータ関数を用いると
ζ(2)＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６
ζ(4)＝１／１^4＋１／２^4＋１／３^4＋１／４^4＋・・・＝π^4／９０
ζ(6)＝１／１^6＋１／２^6＋１／３^6＋１／４^6＋・・・＝π^6／９４５
と表されます．
オイラーはπに関連したいろいろな級数展開式をどっさり発見していて，
＋，−が交互に出現すると
１／１^2−１／２^2＋１／３^2−１／４^2＋・・・＝π^2／１２
１／１^4−１／２^4＋１／３^4−１／４^4＋・・・＝７π^4／７２０
一般式：(1-2^1ｰs)ζ（ｓ）
分母を奇数の偶数ベキ乗だけにすると
１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・＝π^2／８
１／１^4＋１／３^4＋１／５^4＋１／７^4＋・・・＝π^4／９６
一般式：(1-2^ｰs)ζ（ｓ）
分母を奇数の奇数ベキ乗だけにし，さらに交代級数にすると
１／１^3−１／３^3＋１／５^3−１／７^3＋・・・＝π^3／３２
１／１^5−１／３^5＋１／５^5−１／７^5＋・・・＝５π^5／１５３６
などもオイラーによるものであり，ここで紹介したものはごく一部にすぎません．
これらのなかで
１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６
１／１^2−１／２^2＋１／３^2−１／４^2＋・・・＝π^2／１２
１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・＝π^2／８
の３系列は有名なベルヌーイ数と関係していますが，
１／１^3−１／３^3＋１／５^3−１／７^3＋・・・＝π^3／３２
の系列はオイラー数が重要な役割を果たしています．
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ベルヌーイ数列｛Ｂn｝の指数型母関数は
ｘ／（ｅ^x−１）
で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は
ｘ／（ｅ^x−１）＝ΣＢnｘ^n／ｎ！
＝Ｂ0/0!＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・
で定義される有理数で，係数Ｂnはベルヌーイ数と呼ばれます．容易にわかるように
ｘ／（ｅ^x−１）→１ （ｘ→０）
が成立します．
具体的に係数Ｂnを求めてみましょう．定義より，ベルヌーイ級数はべき級数 （ｅ^x−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ＋１／３！ｘ^2＋１／４！ｘ^3＋・・・
の反転級数と考えることができます．
ｅ^x＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・
ですから
ｘ／（ｅ^x−１）
=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)
=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)
=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･
=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･
これより，Ｂ0=1,Ｂ1 ＝−１／２で
ｘ／（ｅ^x−１）−Ｂ1／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅ^x＋１）／（ｅ^x−１）
は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項は
Ｂ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，
Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，
Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８
であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，
Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，
Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６
です．分母は必ず６で割り切れます．
ベルヌーイ数については，再帰公式
（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n=0
が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．
また，ベルヌーイ数と似たものにオイラー数やタンジェント数があります．オイラー数は
ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn/n!x^n
＝Ｅ0/0!＋Ｅ2／２！ｘ^2＋Ｅ4／４！ｘ^4＋・・・
で，べき級数
ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋１／６！ｘ^6＋・・・
の反転級数として定義されます．
オイラー数では，再帰公式
（Ｅ＋１）^n-（Ｅ−１）^n=0
が成り立ちます．
E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,･･･
E1=E3=E5=･･･=0
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Ｌ関数は
Ｌ（ｓ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・
で定義される関数なのですが，Ｌ関数において
Ｌ（２ｎ＋１）＝(-1)^n|Ｅ2n|/2^(2n+2)(2n)!π^(2n+1)
Ｌ（２ｎ）＝(-1)^nπ^2n/4(2n-1)!∫(0,1)Ｅ2n-1(x)sec(πx)dx
Ｌ（−ｎ）＝1/2Ｅn（解析接続）
が成り立ちます．
奇数Ｌの有理数部分にはオイラー数Ｅnが重要な役割を果たしている，それに対して，偶数Ｌの取り扱いは難しいのですが，正の奇数Ｌの値を調べることは，負の偶数Ｌの値を調べることと本質的に同じであるというわけです．
なお，
Ｌ（1）＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・
は，グレゴリー・ライプニッツ級数（１６７１年）と呼ばれます．
１／（１＋ｘ）＝１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・
これを項別積分すると
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2＋１／３ｘ^3−１／４ｘ^4＋・・・
が得られます．ここで，ｘをｘ^2に置き換えると
１／（１＋ｘ^2）＝１−ｘ^2＋ｘ^4−ｘ^6＋・・・
これを項別積分して
ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−１／３ｘ^3＋１／５ｘ^5−１／７ｘ^7＋・・・
両辺にｘ＝１を代入すると，グレゴリー・ライプニッツ級数は
ａｒｃｔａｎ-１＝π／４
すなわち，π／４に収束することがわかります．
Ｌ（1）＝Σ(-1)^(n-1)/(2n+1)＝π／４＝arctan１
また，
Ｌ（2）＝１／１^2−１／３^2＋１／５^2−１／７^2＋・・・
＝1/2∫(0,π/2)θ/sinθdθ=0.91596･･･
はカタランの定数として知られるもので，第１種完全楕円積分
Ｋ（ｋ）＝∫(0,π/2)dθ/√(1-k^2sin^2θ) （ルジャンドルの標準形）
として
2∫(0,1)K(k)dk
に等しくなります．
第１種完全楕円積分で，z=sinθと変換すると
K(k)=∫(0,1)1/√{(1-x^2)(1-k^2x^2)}dx （ヤコビの標準形）
z=sin^2θ，λ=k2とおけば
K(k)=∫(0,z)dz/√(z(1-z)(1-λz)) （リーマンの標準形）
が成立します．
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【２】負の奇数ゼータと偶数Ｌ
（１回微分） cotx=2Σsin2nx
（２回微分） -cosec^2x=4Σncos2nx
（３回微分） 2cosx/sin^3x=-8Σn^2sin2nx
（４回微分） -2(3-2sin^2x)/sin^4x=-16Σn^3cos2nx
（２回微分）の式にx=π/2を代入すると，
-1=-4(1-2+3-4+･･･)
となるのですが，
１／１^s−１／２^s＋１／３^s−１／４^s＋・・・＝(1-2^1ｰs)ζ（ｓ）
より，
1-2+3-4+･･･=(1-2^2)ζ(-1)
したがって，-1=12ζ(-1)より，
ζ（−１）＝−１／１２
次に（４回微分）の式にx=π/2を代入すると，
-2=16(1^3-2^3+3^3-4^3+･･･)
1^3-2^3+3^3-4^3+･･･=(1-2^4)ζ(-3)
-2=-16･15ζ(-3)
となって，
ζ（−３）＝１／１２０
が求まります．
そういうふうに「解析接続」されているといってしまえばそれまでですが，”微分”で負の奇数ゼータが出てくるなんて驚きでしょう．
ちなみに，元の式（０回微分）
log(sinx)＝-Σcos(2nx)/n-log2
にx=π/2を代入すると，
ｌｏｇ２＝１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５−１／６＋・・・
が得られます．
１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５−１／６＋・・・
は調和級数の交代級数で，この値は対数関数のマクローリン展開
ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−１／２ｘ^2＋１／３ｘ^3−１／４ｘ^4＋・・・
によりｌｏｇ２に収束することがわかります．
Σ(-1)^(n-1)･1/n ＝ｌｏｇ２
はメルカトールの定数とかグレゴリーの定数と呼ばれます．
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引き続いて，（１回微分），（３回微分）の式を用いてみます．（１回微分）の式にx=π/2を代入すると0=0となってしまい，これでは面白味がないので，x=π/4を代入します．すると，
1=2(1-1+1-1+･･･)
より
L(0)=1-1+1-1+･･･=1/2
無限級数：Σ（−１）^k＝１−１＋１−１＋１−１＋・・・
は奇数番目まで足して１，偶数番目まで足して０になります．０と１の中間で１／２というわけではありませんが，実際に，平均的処理としてこのような極限（チェザロ極限という）が有効なこともあります．
１−１＋１−１＋１−１＋・・・＝１／２
また，
ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・＝１／（１−ｘ）
でｘを−１に近づけたときの極限値と考えると１／２になってしまい，整数の和が分数という不思議な結果になります．
（３回微分）の式にx=π/4を代入すると，
4=-8(1^2-3^3+5^2-7^2+･･･)
すなわち，
Ｌ（−２）＝−１／２
ですが，これは前述した
Ｌ（−２）＝1/2Ｅ2＝-1/2
の結果に一致します．
まとめると，以下のようになります．
x=π/2 x=π/4
（０回微分） log2=1-1/2+1/3-1/4+･･･ log2=1-1/2+1/3-1/4+･･･
（１回微分） 0=0 L(0)=1/2
（２回微分） ζ(-1)=-1/12 ζ(-1)=-1/12
（３回微分） 0=0 L(-2)=-1/2
（４回微分） ζ(-3)=1/120 ζ(-3)=1/120
このように，負の奇数ゼータと偶数Ｌが交互に出現しますから，x=π/2よりもx=π/4を代入した方が面白いかもしれません．
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【３】杉岡の公式（再考）
logx-2Σζ(2n)/2n･(x/π)^(2n)=-Σcos(2nx)/n-log2
を（０回積分）としましょう．すると（１回積分）は
xlogx-x-2πΣζ(2n)/2n(2n+1)･(x/π)^(2n+1)=-Σsin2nx/2n^2-xlog2
となります．
以下同様に，
（２回積分）
x^2logx/2-3x^2/4-2π^2Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)･(x/π)^(2n+2)=Σ(cos2nx-1)/4n^3-x^2log2/2
（３回積分）
x^3logx/6-11x^3/36-2π^3Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)･(x/π)^(2n+3)=Σsin2nx/8n^4-ζ(3)x/4-x^3log2/6
（４回積分）
x^4logx/24-25x^4/288-2π^4Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)･(x/π)^(2n+4)=-Σ(cos2nx-1)/16n^5-ζ(3)x^2/8-x^4log2/24
（５回積分）
x^5logx/120-137x^5/7200-2π^5Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)･(x/π)^(2n+5)=-Σsin2nx/32n^6+ζ(5)x/16-ζ(3)x^3/24-x^5log2/120
（６回積分）
x^6logx/720-49x^6/14400-2π^6Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)･(x/π)^(2n+6)=Σ(cos2nx-1)/64n^7+ζ(5)x^2/32-ζ(3)x^4/96-x^6log2/720
それぞれにx=π/2，x=π/4を代入します．まず，（０回積分）にx=π/2を代入すると
Σζ(2n)/2n･2^2n=1/2･logπ-1/2･log2
x=π/4を代入すると
Σζ(2n)/2n･4^2n=1/2･logπ-3/4･log2
（１回積分）にx=π/2を代入すると
Σζ(2n)/2n(2n+1)･2^2n=1/2･logπ-1/2
x=π/4を代入すると
Σζ(2n)/2n(2n+1)･4^2n=1/2･logπ-1/2･log2-1/2+1/π･L(2)
（２回積分）にx=π/2を代入したものは（その１）で既出の
ζ(3)=-2π^2/7logπ+3π^2/7+8π^2/7･Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)2^2n
x=π/4を代入すると
ζ(3)=-4π^2/35log(π/2)+6π^2/35+16π^2/35･Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)4^2n
（３回積分）にx=π/2を代入すると
ζ(3)=-π^2/6logπ+11π^2/36+2π^2Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)2^2n
x=π/4を代入すると
ζ(3)=-π^2/24log(π/2)+11π^2/144+π^2/2Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)4^2n+2/π･L(4)
（４回積分）にx=π/2を代入したものは（その１）で既出の
ζ(5)=2π^4/93logπ-25π^4/558+8π^2/31ζ(3)-32π^4/31･Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)2^2n
x=π/4を代入すると
ζ(5)=4π^4/1581log(π/2)-25π^4/4743+64π^2/527ζ(3)-64π^4/527･Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)4^2n
（５回積分）にx=π/2を代入すると
ζ(5)=π^4/120logπ-137π^4/7200+π^2/6ζ(3)-2π^4Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)2^2n
x=π/4を代入すると
ζ(5)=π^4/1920log(/2)-137π^4/115200+π^2/24ζ(3)-π^4/8Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)4^2n+2/π･L(6)
（６回積分）にx=π/2を代入したものは（その１）で既出の
ζ(7)=-4π^6/5715logπ+49π^6/28575-8π^4/381ζ(3)+32π^2/127ζ(5)+128π^6/127･Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)2^2n
x=π/4を代入すると
ζ(7)=-8π^6/371475log(π/2)+98π^6/1857375-64π^4/24765ζ(3)+1024π^2/8255ζ(5)+256π^6/8255Σζ(2n)/2n(2n+1)(2n+2)(2n+3)(2n+4)(2n+5)(2n+6)4^2n
整理してみると
x=π/2 x=π/4
（０回積分） ζ(2n) ζ(2n)
（１回積分） ζ(2n) ζ(2n),L(2)
（２回積分） ζ(3),ζ(2n) ζ(3),ζ(2n)
（３回積分） ζ(3),ζ(2n) ζ(3),ζ(2n),L(4)
（４回積分） ζ(5),ζ(3),ζ(2n) ζ(5),ζ(3),ζ(2n)
（５回積分） ζ(5),ζ(3),ζ(2n) ζ(5),ζ(3),ζ(2n),L(6)
（６回積分） ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n) ζ(7),ζ(5),ζ(3),ζ(2n)
の関係式が得られたことになります．x=π/4を代入した式は分母が4^2nとなるので収束は速いはずです．
［注］これらの数式は，小生が数式処理ソフトを用いずに手計算で求めたものであり，信頼率は低い（50%以下？）と思われた．そこで，杉岡氏に検算をして頂きました．
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【４】偶数ゼータと奇数Ｌ
引き続いて（その２）のように両辺にｘをかけた
xlogx-2πΣζ(2n)/2n･(x/π)^(2n+1)=-Σxcos(2nx)/n-xlog2
一般には
x^mlogx-2π^mΣζ(2n)/2n･(x/π)^(2n+m)=-Σx^mcos(2nx)/n-x^mlog2
を出発点にして，ｌｏｇπを消去することが考えられます．
しかし，ここでは，
コラム「無限次元空間の球充填問題（その６）」
で紹介した
Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12
からスタートすることにします．もちろん，その目的は偶数ゼータの値を明示的に求めることにあります．
（０回積分） Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12
（１回積分） Σsin(2nx)/2n^3=x^3/3-πx^2/2+π^2x/6
（２回積分） -Σcos(2nx)/4n^4+ζ(4)/4=x^4/12-πx^3/6+π^2x^2/12
（３回積分） -Σsin(2nx)/8n^5+ζ(4)x/4=x^5/60-πx^4/24+π^2x^3/36
（４回積分） Σcos(2nx)/16n^6-ζ(6)/16+ζ(4)x^2/8=x^6/360-πx^5/120+π^2x^4/144
（５回積分） -Σsin(2nx)/8n^5+ζ(4)x/4=x^5/60-πx^4/24+π^2x^3/36
（６回積分） Σcos(2nx)/16n^6-ζ(6)/16+ζ(4)x^2/8=x^6/360-πx^5/120+π^2x^4/144
x=π/2 x=π/4
（０回積分） ζ(2)=π^2/6 ζ(2)=π^2/6
（１回積分） 0=0 L(3)=π^3/32
（２回積分） ζ(4)=π^4/90 ζ(4)=π^4/90
（３回積分） ζ(4)=π^4/90 L(5)=5π^5/1536
（４回積分） ζ(6)=π^6/945 ζ(6)=π^6/945
（５回積分） ζ(4)=π^4/90 L(5)=5π^5/1536
（６回積分） ζ(6)=π^6/945 ζ(6)=π^6/945
このように，偶数ゼータと奇数Ｌの系列が得られます．
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【５】負の偶数ゼータと奇数Ｌ
今度は逆に微分してみましょう．
（０回微分） Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12
（１回微分） -Σ2sin(2nx)/n=2x-π
（２回微分） -Σ4cos(2nx)=2
（３回微分） Σ8nsin(2nx)=0
（４回微分） Σ16n^2cos(2nx)=0
（５回微分） -Σ32n^3sin(2nx)=0
（６回微分） -Σ64n^4cos(2nx)=0
３回微分以降，右辺はすべて０になります．
そして，まとめると
x=π/2 x=π/4
（０回微分） ζ(2)=π^2/6 ζ(2)=π^2/6
（１回微分） 0=0 L(1)=π/4
（２回微分） L(0)=1/2 L(0)=1/2
（３回微分） 0=0 L(-1)=0
（４回微分） ζ(-2)=0 ζ(-2)=0
（５回微分） 0=0 L(-3)=0
（６回微分） ζ(-4)=0 ζ(-4)=0
交互に負の偶数ゼータと奇数Ｌが現れ，いずれも０となります．そして，ここにも「多重積分←→多重微分」の法則性が潜んでいたというわけです．
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なお，
Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ^2＝（π／２−ｘ）^2−π^2／１２
以外の基本等式として
Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）
Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１−ｙ）ｔａｎｘ）−ｘ
も知られています．
Σｙ^nｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−１／２ｌｏｇ（１−２ｙｃｏｓ２ｘ＋ｙ^2）
にｙ＝１を代入すると，オイラーが得た結果
Σｃｏｓ２ｎｘ／ｎ＝−ｌｏｇ（ｓｉｎｘ）−ｌｏｇ２
Σｙ^nｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝ａｒｃｔａｎ（（１＋ｙ）／（１−ｙ）ｔａｎｘ）−ｘ
にｙ＝−１を代入すると，ロバチェフスキー関数
１／２Σｓｉｎ２ｎｘ／ｎ＝−∫(0,x)ｌｏｇ（２ｃｏｓｘ）ｄｘ
−ｌｏｇ２
が得られ，
Ｌ（π／２）＝π／２ｌｏｇ２
の値が求められます．
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