これからの話を円滑に進めるためにも，今回のコラムでは（その１１）を補足しておきたいのですが，まずは復習から始めることにしましょう．

　

　フェルマーは，素数ｐ≠２について

　　「ｐが４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

素数ｐ≠３について

　　「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見しました．

　

　　ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

　　ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）

　　ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）

　　ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）

ですから，それぞれ２次体

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）

と関係していることは容易に想像されます．

　

　２次体Ｑ（√ｄ）において，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　ω＝√ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　→　ω＝（１＋√ｄ）／２

とすると，代数的整数の集合

　　Ａ（ω）＝｛ａ＋ｂω｜ａ，ｂ，は整数｝

は，加法および乗法に関して閉じて環になります．このＡ（ω）を２次体Ｑ（√ｄ）の整数環と呼びます．

　

　するとここで述べたことは，整数環

　　Ｚ（ｉ），Ｚ（√−２），Ｚ（√２），Ｚ（ζ3）

　　　　ζ3＝（１＋√−３）／２

の世界で素数が分解することを物語っています．たとえば，

　　３＝１^2＋２・２^2＝（１＋２√−２）（１−２√−２）

　

　それでは，次の問題として，この分解は一意に確定するのかどうか調べてみることにしましょう．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【１】２次体における素数の分解

　

　有理数体Ｑに，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｑ（√ｄ）を考えます．すると０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｄ）は体になり，２次体Ｑ（√ｄ）の元は一意的に

　　Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝

の形で表されます．とくに，ｄ＝−１のとき

　　Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）

はガウスの数体となります．

　

　２次体の場合，素数ｐの素イデアル分解においては

　　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ　　（分岐）

　　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ　　（完全分解）

　　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2　　（ｐは２次体でも素）

のような３通りの分解様式を考えることになるのですが，素数ｐがいつ分岐しまた完全分解するかを調べるための判別式Ｄ，すなわち，Ｄは重根をもつ・もたないの判別ではなく，２次体Ｑ（√ｄ）における素数の分解・分岐など素イデアルの分解法則と密接に関係している判別式であって，

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）　→　Ｄ＝４ｄ

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）　　　→　Ｄ＝ｄ

となります．そして，有理素数は次のように分解します．

　

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４），Ｄ＝４ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ

　(2)（ｄ／ｐ）＝＋１　→　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(3)（ｄ／ｐ）＝−１　→　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2

　

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｄ

　(1)ｐ｜Ｄ　→　ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ

　(2)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝＋１　→　ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(3)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝−１　→　ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2

　(4)ｐ＝２，ｄ＝１（ｍｏｄ８）　→　２＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ

　(5)ｐ＝２，ｄ＝５（ｍｏｄ８）　→　２＝p，Ｎ（p）＝２^2

　

　ここで，（ｄ／ｐ）はルジャンドルの記号で，

　　（ｄ／ｐ）＝＋１

はｄがｐを法とする平方剰余であることを示しています．すなわち，ｘ^2＝ｄ（ｍｏｄｐ）の解の有無によって，解のあるときｄをｐの平方剰余，ないとき平方非剰余といい，

　　（ｄ／ｐ）＝−１

と表されます．

　

　この結果から２次体Ｑ（√ｄ）でｐが分岐するための必要十分条件は

　　ｐ｜Ｄ

であることがわかります．割れなければｐはＱ（√ｄ）で不分岐です．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　２次体Ｑ（√ｄ）には，各素数ｐに対して（０，１，−１）を値にもつクロネッカーの指標χ（ｐ）があり，

　　χ（ｐ）＝０　　　（分岐）

　　　　　　＝＋１　　（完全分解）

　　　　　　＝−１　　（ｐは２次体でも素）

と定義されます．

　

　具体的には，Ｄを判別式として

　　ｐ｜Ｄ　→　χ（ｐ）＝０

　　ｐ≠２　→　χ（ｐ）＝（Ｄ／ｐ）

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

のように計算されるのですが，

　　ｐ＝２　→　χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}　

はｄ＝１（ｍｏｄ４）のときのみに起って，右辺は第２補充法則によっています．

　

　この計算により，次の表が得られます．

　

　　　　　　　完全分解（＋１）　２次体でも素（−１）　分岐（０）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ｑ（√−１）　　p=1(mod4)　　　　　 p=3(mod4)　　　　　　 p=2

Ｑ（√−２）　　p=1,3(mod8)　　　　 p=5,7(mod8)　　　　　 p=2

Ｑ（√２）　　　p=1,7(mod8)　　　　 p=3,5(mod8)　　　　　 p=2

Ｑ（√−３）　　p=1(mod3)　　　　　 p=2(mod3)　　　　　　 p=2

Ｑ（√３）　　　p=1,11(mod12)　　　 p=5,7(mod12)　　　　　p=2,3

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ｑ（√５）　　　p=1,4(mod5)　　　　 p=2,3(mod5)　　　　　 p=5

Ｑ（√−５）　　p=1,3,7,9(mod20)　　p=11,13,17,19(mod20)　p=2,5

Ｑ（√６）　　　p=1,5,13,19(mod24)　p=7,11,13,17(mod24)　 p=2,3

Ｑ（√−６）　　p=1,5,7,11(mod24)　 p=13,17,19,23(mod24)　p=2,3

Ｑ（√−１５）　p=1,2,4,8(mod15)　　p=7,11,13,14(mod24)　 p=3,5

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

　この表は，たとえばＱ（√３）においてp=1,11(mod12)なる素数は２個の数のの積に分解

　　１１＝（２√３＋１）（２√３−１）

　　１３＝（４＋√３＋１）（４−√３）

することを示しています．

　

　Ｑ（√３）は類数１で数とイデアルのずれがないのですが，以下ではずれのある場合について説明します．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【２】類数と素因数分解の一意性

　

　正の整数では素因数分解の一意性が成り立ちます．また，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，

　　χ（５）＝（−１／５）＝１　　（第１補充法則）

より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり

　　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

とただ１通りのイデアル分解されます．

　

ところが，扱う数の範囲を広げると，既約因子の積に２通りに表されるような状況を生じます．たとえば，扱う数の範囲を整数から，

　　Ｚ（√−５）＝｛ａ＋ｂ√−５｜ａ，ｂは整数｝

にまで拡げると，

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　

　２，３は素数ですし，

　　１＋√−５，１−√−５

はいずれも

　　ａ＋ｂ√−５

のなかには±１と±それ自身以外の約数をもたないので「素数」です．

　

　このように，もうこれ以上分解できないはずの素因数分解の仕方が２通り存在してしまう現象が起こります．Ｑ（√ｄ）の整数環Ａ（ω）が必ずしも一意分解環でないことに最初に気づいたのは，ディリクレでした．

　

　この状況に対して，これはまだ分解が足りないためだと考えることもできます．すなわち，２，３，１±√−５は素数でなく偽物の素数である，さらに究極の素数α，β，γ，δがあって，

　　２＝αβ，３＝γδ，１＋√−５＝αγ，１−√−５＝βδ

となっていて，

　　６＝αβγδ

が６の素因数分解となるという考え方をクンマーの理想数の理論といいます．

　

　もちろん，α，β，γ，δはＺ（√−５）の中には存在しません．素因数分解したときの素因数がすべて含まれている理想の世界の集合を考えるのです．そしてイデアルの世界に至れば，ただ１通りの素因数分解が成立するようになるのです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　これは２次形式論の話に移すと，どのようなｄに対して判別式Ｄ＝ｄあるいはｄ／４の形式の同値類がただ１つになっているかということです．ガウスは証明なしにではありますが，負のｄに対してＡ（ω）が単項イデアル環になっているものをすべて決定しています．この事実に最終的な証明が与えられたのが，１９６６年のベイカー・シュタルクの定理

　『類数が１となる虚２次体Ｑ（√ｄ）は

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

しかない』

というわけです．

　

［補］虚２次体の類数公式（ディリクレ）

　　Ｌ（χ，１）＝２πｈ／ｗ√Ｎ

　

　ここで，ｈは類数，Ｎは導手，ｗは単数の個数で

　　ｄ＝−３のとき，ｗ＝６（±１，±ω，±ω^2）

　　ｄ＝−１のとき，ｗ＝４（±１，±ｉ）

　　それ以外のとき，ｗ＝２（±１）

また，２次体Ｑ（√ｄ）の導手Ｎは

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき，Ｎ＝｜ｄ｜

　　ｄ＝３（ｍｏｄ４）のとき，Ｎ＝４｜ｄ｜

　

　Ｑ（√−１）の場合は，Ｎ＝４，ｗ＝４ですから

　　Ｌ（χ，１）＝πｈ／４

また，グレゴリー・ライプニッツ級数

　　１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・＝π／４

よりｈ＝１であること，すなわち，Ｚ（ｉ）が一意分解整域であることを意味しています．

　

　ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，

　　−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７

の１８個あります．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【３】類体論

　

　２次体における素数の分解

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３），Ｑ（√３）

はいずれも類数が１であって，これらの体の整数環は一意分解整域となります．したがって，素数は素イデアルの積としてただ１通りに表されます．

　

　それに対して，Ｑ（√−５）やＱ（√−６）は類数が２であり，Ｚ（√−５）やＺ（√−６）は一意分解とは限らないことを意味しています．

　　６＝２・３＝（１＋√−５）（１−√−５）

　

　類数１では，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，・・・の形に書ける素数の場合，Ｑ（√−１）やＱ（√−２）においてｐが完全分解するための必要十分条件

　　Ｑ（√−１）　←→　１（ｍｏｄ４）

　　Ｑ（√−２）　←→　１，３（ｍｏｄ８）

がそのままだったのに対して，類数２では，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2，・・・の形に書ける素数に次のような現象が起こります．

　

　ｐ≠２，５でない素数とするとき

　　「ｐが２０で割ると１または９余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋５ｙ^2」

　ｐ≠２，３でない素数とするとき

　　「ｐが２４で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋６ｙ^2」

　

　すなわち，Ｑ（√−５）において，ｐが完全分解するための必要十分条件

　　１，３，７，９（ｍｏｄ２０）

Ｑ（√−６）において，ｐが完全分解するための必要十分条件

　　１，５，７，１１（ｍｏｄ２０）

に較べて少しずれが生じてしまうのです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　［参］加藤・黒川・斉藤「現代数学の基礎・数論１，２」岩波書店

では，類体論とは２次体ばかりでなく，２次体以外の体（３次体，４次体，円分体とその部分体，・・・）において素数の分岐，不分岐，完全分解の様子を一般化して，有理数体Ｑの拡大と素数の分解の様子を間の対応を語るものと解説されています．

　

　類体論にはさまざまの分解法則をもつ体が登場するのですが，類体論によると，素数

　　ｐ＝１，９（ｍｏｄ２０）

が完全分解するのはＱ（√−５）ではなくて，Ｋ＝Ｑ（√−５，√−１）であって，そのときにｘ^2＋５ｙ^2となるｘ，ｙが存在する，また，素数

　　ｐ＝１，７（ｍｏｄ２４）

はＱ（√−６）ではなくて，Ｋ＝Ｑ（√−６，ζ3）で完全分解し，ｘ^2＋６ｙ^2となるｘ，ｙが存在することになります．

　

　さらに，素数ｐがｘ^2＋２６ｙ^2の形に書けるかどうかは，どのような導手Ｎをもってしてもｐ＝？（ｍｏｄＮ）で判定することができないこともわかっているようです．（ｘ^2＋２６ｙ^2なるｘ，ｙが存在するための必要十分条件は，ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）かつｐ＝１，３，４，９，１０，１２（ｍｏｄ１３）となることである．）

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【４】２次体と円分体

　

　１の原始ｎ乗根ζn＝exp(2πi/n)をとると，Ｋ＝Ｑ（ζn）を円のｎ分体といいますが，すべての２次体Ｑ（√ｄ）は円分体Ｑ（ζn）に含まれます．たとえば，

　　Ｑ（√２）＜Ｑ（ζ8）　　　（∵√２＝ζ8＋ζ8^(-1)）

　　Ｑ（√３）＜Ｑ（ζ12）　　　（∵√３＝ζ12＋ζ12^(-1)）

　　Ｑ（√−１）＝Ｑ（ζ4）　　　（∵√−１＝ζ4）

　　Ｑ（√−３）＝Ｑ（ζ3）　　　（∵√−３＝１＋２ζ3）

　

　また，部分体ｋ＝Ｑ（ζn＋ζn^(-1)）＝Ｑ（ζn＋ζn~）は，体Ｋ＝Ｑ（ζn）の拡大次数［Ｋ：ｋ］＝２なる最大実部分体となります．

　　Ｑ（√３）＜Ｑ（ζ12）　　　（∵√３＝ζ12＋ζ12^(-1)）

さらにまた，

　　ｎ~＝(-1)^{(n-1)/2}ｎ

とおくと，Ｑ（√ｎ~）はＱ（ζn）の部分体になります．円分体はＱ（ζn＋ζn^(-1)）やＱ（√ｎ~）などを部分体としてもつというわけです．

　

　このように，Ｑ（ζ12）のなかには，部分体としてＱ（√３），Ｑ（√−１），Ｑ（√−３）が含まれています（∵ζ12^3＝ζ4，１＋ζ12^4＝１＋２ζ3）．Ｑ（ζ12）に含まれる部分体は他には存在しません．

　

　円のｎ分体の類数公式については説明しませんが，Ｑ（ζ12）はＱ（√−１），Ｑ（√２），Ｑ（√−２），Ｑ（√３），Ｑ（√−３）などと同様に類数１ですから一意分解です．

　

　そして，Ｑ（√ｄ）をＱ（ζn）に含まれる部分体とすると

　　ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき，ｎ＝｜ｄ｜

　　ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき，ｎ＝４｜ｄ｜

ですから，２次体の導手はＱ（√ｄ）＜Ｑ（ζn）となる最小のｎにほかなりません．したがって，２次体Ｑ（√３）の導手は１２であり，

　　ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→　　１

　　ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２）　→　−１

になります．

　

　　　　Ｑ（√３）　　　　　　　　　　　　　Ｑ（ζ12）

１３　（４＋√３）（４−√３）　　（２−ζ12）（２−ζ12^5）（２−ζ12^7）（２−ζ12^11）

５　　５（２次体でも素）　　　　　（２−ζ12^3）（２−ζ12^9）

７　　７（２次体でも素）　　　　　（２−ζ12^4）（２−ζ12^8）

１１　（２√３＋１）（２√３−１）　（２√３＋１）（２√３−１）

　

　このように，Ｑ（√３）やＱ（ζ12）における素数ｐの分解の様子がｍｏｄ１２でわかるという法則が類体論の核心なのですが，これらはＱ（√３）がＱ（ζ12）に含まれることをもとにして証明することができます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　ガウスの平方剰余の相互法則も，円のｎ分体内に２次体Ｑ（√ｎ~）が入っていることをもとに証明できます．ｎを奇の素数として

　ｐがｍｏｄｎの平方剰余　←→　ｐがＱ（√ｎ~）／Ｑで完全分解

ここでｎ~＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｎ~より

　　（ｐ／ｎ）＝１←→（ｎ~／ｐ）＝１←→ｐがＱ（√ｎ~）／Ｑで完全分解

ｐ＝２のとき

　　ｎ~＝１（ｍｏｄ８）←→ｎ＝±１（ｍｏｄ８）←→２がＱ（√ｎ~）／Ｑで完全分解．

　

　いいかえると

　　ｐ≠２のとき（ｐ／ｎ）＝１←→（ｎ~／ｐ）＝１

　　ｐ＝２のとき（２／ｎ）＝１←→ｎ＝±１（ｍｏｄ８）

ですから，これらはガウスの相互法則および第２補充法則にほかなりません．

　

　　（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2}　 (mod p)　　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　　（第１補充法則）

　　　　　　　　＝＋１　　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）

　　　　　　　　＝−１　　　ｐ＝３（ｍｏｄ４）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　　（第２補充法則）

　　　　　　　　＝＋１　　　ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）

　　　　　　　　＝−１　　　ｐ＝３，５（ｍｏｄ８）

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）=(-1)^{(p-1)/2}{(q-1)/2}　（ガウスの相互法則）

　

　平方剰余の相互法則は円分体の世界での素数に分解についての法則といえるのであって，２次体を含む円分体を考えることによって，ガウスの相互法則が自然に理解できるというわけです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

［補］正１７角形の作図可能性

　

　定規とコンパスだけで正３角形，正４角形，正６角形，正８角形が作図できることは簡単にわかりますが，辺の数５，７，９の場合はどうでしょうか．正５角形は古代ギリシャにおいて作図可能であることが発見されました．となれば，次に正７角形・正９角形の作図は？と考えるのは自然な成り行きでしょう．ところが，かのアルキメデスでさえも正７角形・正９角形の作図に成功しなかったといわれています．また，内接正多角形の作図は画家であり建築家であるレオナルド・ダ・ヴィンチの関心を惹きました．しかし，彼でさえ近似的な内接正七角形の作図を正確なものと思っていたようです．

　

　辺数３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６の正多角形は作図できますが，辺数７，９，１１，１３，１４の正多角形は作図できないことから，正１７角形もそうであろうと推察されます．ところが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつき，のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　

　正７角形も正９角形も作図できないのに，まさか正１７角形が作図できるとはと思うのが普通なのでしょうが，このことを用いると，ｍ＝０のとき正３角形，ｍ＝１のとき正５角形，ｍ＝２のとき正１７角形となり，作図可能であることがわかります．当然，ずっと面倒になるでしょうが，正２５７角形（ｍ＝３），正６５５３７角形（ｍ＝４）も作図可能です．

　

　定規とコンパスだけでζnが作図可能となるための必要十分条件は，体の列

　　Ｑ＝Ｋ0＜Ｋ1＜Ｋ2・・・＜Ｋn＝Ｑ（α）

においてＫiがＫi-1の２次拡大［Ｋi：Ｋi-1］＝２となる，すなわち，複素数αに対して

　　［Ｑ（α）：Ｑ］＝２^n

となるものが存在することなのですが，α＝ζ5，ζ17はこの条件を満たす，一方，α＝ζ7では［Ｑ（ζ7）：Ｑ］＝６より満たしていないということを考察することによって得られました．→［参］

　

　さらに

　　ｎ−１｜２^kより，ｎ＝１＋２^k

ここで，ｋが奇数因数を含めばｎは素数ではなくなりますから，結局

　　ｎ＝２2^m＋１

の形でなければなりません．作図可能となるｎ＝２2^m＋１の形の素数をフェルマー素数といいます．フェルマー素数はガウスによって１世紀にわたる眠りから覚まされ，数論と幾何学に新たな美しさを吹き込んだことになります．

　

　フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｍ＝５のときは素数ではなく，現在，ｍ＝０，１，２，３，４の５個以外にフェルマー素数はみつかっていません．６番目のフェルマー素数の探索がコンピュータを使ってなされていますが，はたして本当に存在するのでしょうか．

　

　アルキメデスは円柱とそれに内接する球の体積比が３：２であることを発見した記念に，自分の墓の上に円柱の形をした記念碑をおくように遺言したといわれています．アルキメデスと同じように，ガウスは正１７角形を墓石に彫るよう遺言しています．このことはガウス自身がその発見をいかに重視したかを物語っています．数々の大発見をしたガウスですが，１９才の青年がアルキメデスをもってしてもできなかった古代ギリシア以来２０００年の謎を解いたのですから，まさに驚きとしかいいようがありません．この正１７角形の作図は彼を本格的に数学の道に入らせるきっかけとなったといわれています．

　

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［参］加藤・黒川・斉藤「現代数学の基礎・数論１，２」岩波書店

　

　ｍｏｄ７で素数の分解が決まるすべての体

　　　　　　　拡大次数（：Ｑ）　　　完全分解（＋１）　分岐（０）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ｑ（ζ7）　　　　　　６　　　　　　　p=1(mod7)　　　　 p=7

Ｑ（ζ7＋ζ7^(-1)）　３　　　　　　　p=1,6(mod7)　　　 p=7

Ｑ（√−７）　　　　 ２　　　　　　　p=1,2,4(mod7)　　 p=7

Ｑ　　　　　　　　　 １　　　　　　　すべてのｐ　　　　なし

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　

　ｍｏｄ２０で素数の分解が決まるすべての体

　　　　　　　拡大次数（：Ｑ）　　　完全分解（＋１）　分岐（０）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ｑ（ζ20）　　　　　 ８　　　　　　　p=1(mod20)　　　　p=2,5

Ｑ（ζ5）　　　　　　４　　　　　　　p=1(mod5)　　　　 p=5

Ｑ（ζ20＋ζ20^(-1)）４　　　　　　　p=1,19(mod20)　　 p=2,5

Ｑ（√５，√−１）　 ４　　　　　　　p=1,9(mod20)　　　p=2,5

Ｑ（√５）　　　　　 ２　　　　　　　p=1,4(mod5)　　　 p=5

Ｑ（√−５）　　　　 ２　　　　　　　p=1,3,7,9(mod20)　p=2,5

Ｑ（√−１）　　　　 ２　　　　　　　p=1(mod4)　　　　 p=2

Ｑ　　　　　　　　　 １　　　　　　　すべてのｐ　　　　なし

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