これまでにわかっていることをもう一度まとめておこう．ｘ＝π／２を代入したときは偶数ゼータと奇数Ｌの値が，ｘ＝π／４では偶数Ｌ1と奇数Ｌ2の値が明示的に求められ，それらは偶数ゼータの有限和で表されることがわかっている．

　　(1)奇数ゼータ，偶数Ｌ，奇数Ｌ1，偶数Ｌ2は偶数ゼータの無限和として表される

　　(2)奇数Ｌ，偶数Ｌ1，奇数Ｌ2は偶数ゼータの有限和で表される

　

　それではｘ＝π／３やｘ＝π／６を代入したらどうなるのだろうか？　ｘ＝π／３について，これまでのところわかっていることは１次のベルヌーイ多項式

　　Σsin(2nx)/n=π/2-x

にｘ＝π／３を代入すると，

　　１／１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝π／３√３

　

　同様に，３次のベルヌーイ多項式

　　Σsin(2nx)/n^3=1/12{π^3-2π^2x+(2x-π)^3}

にｘ＝π／３を代入すると，

　　１／１^3−１／２^3＋１／４^3−１／５^3＋１／７^3−１／８^3＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝４π^3／８１√３

が得られるということだけである．→（その９）

　

　ベルヌーイ多項式やオイラー多項式は有限次のベキ和であるから，ｘ＝π／３のような具体的な値を代入すると明示的に値が求められる．

　

　それに対して，杉岡幹生氏はベルヌーイ多項式やオイラー多項式ではなく，このシリーズの中心に位置する式，

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

を微分して得られる

　　cotx=cosx/sinx=2Σsin2x=2(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

と

　　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2*log(cot(x/2))

を微分して得られる

　　cosecx=1/sinx=2Σsin(2n-1)x=2(sinx+sin3x+sin5x+･･･)

にそれぞれｘ＝π／３，ｘ＝π／６の代入を試みた．

　

　ｘ＝π／２やｘ＝π／４の代入によって，前者からは奇数ゼータが生み出され，また，後者は偶数Ｌ関数を生成する．それではｘ＝π／３，ｘ＝π／６を代入した結果はどうなったのだろうか？　今回のコラムでは杉岡氏の行った結果について紹介したい．

　

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【１】杉岡氏の結果

　

　　ζ(s)=1/1^s+1/2^2+1/3^s+1/4^s+･･･

　　L(s)=1/1^s-1/3^s+1/5^s-1/7^s+･･･

　　L1(s)=1/1^s-1/3^s-1/5^s+1/7^s+･･･

　　L2(s)=1/1^s+1/3^s-1/5^s-1/7^s+･･･

と定義すると，ｘ＝π／２やｘ＝π／４の代入によって，以下の表が得られる．

　

　　　　　　　　　　　x=π/2　　　　　　　　　　x=π/4

　Σcos(2nx)/n^s　　-(1-2^(1-s))ζ(s)　　　-2^(-s)(1-2^(1-s))ζ(s)

　Σsin(2nx)/n^s　　　　０　　　　　　　　　　　L(s)

　

　　　　　　　　　　　　　　 x=π/2　　　　　　 x=π/4

　Σcos(2n-1)x/(2n-1)^s　　　　０　　　　　　　 L1(s)/√2

　Σsin(2n-1)x/(2n-1)^s　　　　L(s)　　　　　　 L2(s)/√2

　

　まず最初にこれと同じ表を作ることから始めたい．

　　cotx=cosx/sinx=2Σsin2x=2(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

の積分系列にｘ＝π／３，ｘ＝π／６を代入してみる．検算が簡単になるようにできるだけ一般的な形で与えておくが，

　

　　　　　　　　　　　x=π/3　　　　　　　　　　x=π/6

　Σcos(2nx)/n^s　　 -1/2(1-3^(1-s))ζ(s)　　　1/2(1-2^(1-s))(1-3^(1-s))ζ(s)

　Σsin(2nx)/n^s　　 √(3)/2L3(s)　　　　　　 √(3)/2(1+2^(1-s))L3(s)

が得られる．

　

　ここで，関数Ｌ3(s)を

　　Ｌ3(s)＝１／１^s−１／２^s＋１／４^s−１／５^s＋１／７^s−１／８^s＋・・・

と定義している．

　

　細かい説明をはしょっているのでわかりにくいと思われるが，ｘ＝π／３を代入するとζ(2n+1)とＬ3(2n)が会する式となる．杉岡氏のＨＰにはこの結果が丹念に記載されているので参照されたい．ともあれ，ここでわかることはζ(2n+1)が偶数ゼータの無限和として表されることから，結局，Ｌ3(2n)も偶数ゼータの無限和として表されるということである．

　

　また，冒頭にも掲げたが，Ｌ3(2n+1)は奇数次のベルヌーイ多項式にｘ＝π／３を代入することによって明示的に求められ，それらは偶数ゼータの有限和で表されることも想像されるであろう．

　　Ｌ3(1)＝π／３√３，Ｌ3(3)＝４π^3／８１√３

　

　参考のため，記しておくが

　　Σsin(2nx)/n=π/2-x

　　Σcos(2nx)/n^2=(π/2-x)^2-π^2/12

　　Σsin(2nx)/n^3=1/12{π^3-2π^2x+(2x-π)^3}

　　Σcos(2nx)/n^4=1/48{2π^2(2x-π)^2-(2x-π)^4-7π^4/15}

　　Σsin(2nx)/n^5=x/90{π^4-10π^2x^2+15πx^3-6x^4}

はそれぞれ１〜５次のベルヌーイ多項式になっている．

　

　ｘ＝π／６の代入でも，ζ(2n+1)とＬ3(2n)が出現するのでほぼ同じ結果となる．

　

　なお，

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

にｘ＝π／３，ｘ＝π／６を代入すると

　　１／１＋１／２−２／３＋１／４＋１／５−２／６＋・・・＝ｌｏｇ３

　　１／１−１／２−２／３−１／４＋１／５＋２／６＋・・・＝０

Ｌ3(1)の＋／−の順序を入れ替えた式

　　１／１−１／２−１／４＋１／５＋１／７−１／８−１／１０＋１／１１・・・＝２／３ｌｏｇ２

は

　　１／１−１／２＋１／３−１／４＋１／５−１／６＋１／７−１／８＋・・・＝ｌｏｇ２

より簡単に求められる．

　

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　次に

　　cosecx=1/sinx=2Σsin(2n-1)x=2(sinx+sin3x+sin5x+･･･)

の積分系列にｘ＝π／３，ｘ＝π／６を代入を試みる．すると

　

　　　　　　　　　　　　　　 x=π/3　　　　　　　　　　　　　　 x=π/6

　Σcos(2n-1)x/(2n-1)^s　　 1/2(1-2^(-s))(1-3^(1-s))ζ(s)　　　√(3)/2L4(s)

　Σsin(2n-1)x/(2n-1)^s　　 √(3)/2(1+2^(-s))L3(s)　　　　　　 1/2(1+3^(1-s))L(s)

　

　ここで，

　　Ｌ4(s)＝１／１^s−１／５^s−１／７^s＋１／１１^s＋１／１５^s−１／１９^s＋・・・

と定義した．

　

　ｘ＝π／３を代入するとζ(2n+1)とＬ3(2n)が現れる点は，

　　cotx=cosx/sinx=2Σsin2x=2(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

の積分系列の場合と同じであるが，ｘ＝π／６の代入ではＬ(2n)に加えて，ここで新たに定義した式Ｌ4(2n+1)が出現する．このことからＬ4(2n+1)も偶数ゼータの無限和として表されることが理解されるであろう．

　

　なお，オイラー多項式は

　　Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4（０次式）

　　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^2=π(π-2x)/8（１次式）

　　Σsin((2n-1)x)/(2n-1)^3=πx(π-x)/8（２次式）

　　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)^4=π/96(π^2-6πx^2+4x^3)（３次式）

であり，たとえば，

　　Σsin((2n-1)x)/(2n-1)=π/4（０次式）

にｘ＝π／３を代入すると

　　１／１−１／５＋１／７−１／１１＋１／１３−１／１７＋１／１９−１／２３＋・・・＝π／２√３

が求められる．

　

　また，上に掲げた表より，

　　１／１^s−１／５^s＋１／７^s−１／１１^s＋１／１３^s−１／１７^s＋１／１９^s＋１／２３^s＋・・・＝(1+3^(-s))L3(s)

や

　　１／１＋１／５−１／７−１／１１＋１／１３＋１／１７−１／１９−１／２３＋・・・＝π／３

　　１／１^s＋１／５^s−１／７^s−１／１１^s＋１／１３^s＋１／１７^s−１／１９^s−１／２３^s＋・・・＝(1+3^(-s))L(s)

となることもわかる．

　

　しかし，オイラーの多項式からは直接

　　Ｌ4(1)＝１／１−１／５−１／７＋１／１１＋１／１３−１／１７−１／１９＋１／２３＋・・・

を求めることはできそうにない．そこで

　　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2*log(cot(x/2))

にｘ＝π／６を代入すると，

　　Ｌ4(1)＝１／１−１／５−１／７＋１／１１＋１／１３−１／１７−１／１９＋１／２３＋・・・＝１／√３ｌｏｇ（２＋√３）

が得られるのである．

　

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【２】まとめ

　

　Ｌ3関数は２次体Ｑ（√−３）

　　ｐ＝１（ｍｏｄ３）　→　　１

　　ｐ＝２（ｍｏｄ３）　→　−１

にともなうものであり，また，Ｌ4関数は２次体Ｑ（√３）

　　ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→　　１

　　ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２）　→　−１

に対応するものである．

　

　最後に，これまで出てきたディリクレのＬ関数と２次体の関係についてまとめておこう．

　　Ｌ(s)＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・→Ｑ（√−１）

　　Ｌ1(s)＝１／１^s−１／３^s−１／５^s＋１／７^s＋・・・→Ｑ（√２）

　　Ｌ2(s)＝１／１^s＋１／３^s−１／５^s−１／７^s＋・・・→Ｑ（√−２）

　　Ｌ3(s)＝１／１^s−１／２^s＋１／４^s−１／５^s＋１／７^s−１／８^s＋・・・→Ｑ（√−３）

　　Ｌ4(s)＝１／１^s−１／５^s−１／７^s＋１／１１^s＋１／１５^s−１／１９^s＋・・・→Ｑ（√３）

　

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【３】付記

　

　杉岡氏のＨＰには驚かされる式が満載されていて，たとえば，オイラーが１７７２年に発見した

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

に対応する

　　Ｌ（2）＝2πlog2+∫(0,π/2)log(cos(x/2))dx

などはその１例である．

　

　今回のコラムでは説明を省略したところも多いので，杉岡氏の意図するところをきちんと伝えることができたかどうか自信がない．詳細は杉岡氏のＨＰを参照してほしい．

　

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