■奇数ゼータと杉岡の公式（その１１）
■奇数ゼータと杉岡の公式（その１１）
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，
５＝１^2＋２^2，
１３＝２^2＋３^2，
１７＝１^2＋４^2，
２９＝２^2＋５^2，
・・・・・・・・・
このように，４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在します．
（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｘ^2＋ｙ^2
ｘ＝ａｃ−ｂｄ，ｙ＝ａｄ＋ｂｃ
しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．
この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています（フェルマー・オイラーの定理）．
２平方和定理は「４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」でしたが，フェルマーはまた，
「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」
「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」
「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」
となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見しました．ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえるのです．
ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）
ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）
ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）
ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）
ですから，それぞれ２次体
Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）
と関係していることは容易に想像されます．
そこで，今回のコラムではゼータ関数と２次体（のイデアル類群）の関係について，簡単に紹介したいと思います．このことは杉岡氏のＨＰでも紹介されているのですが，ゼータ関数（解析的）と２次体（代数的）の間には何の関係もなさそうに見えて，その実，根底において繋がっていることがとても不思議に感じられます．
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【１】平方剰余の相互法則
（ａ／ｐ）＝＋１ ←→ ａがｐを法とする平方剰余
（ｘ^2＝ａ ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）
（ａ／ｐ）＝−１ ←→ 平方非剰余（そうでないとき）
と定義します．
たとえば，整数ａに対して，
ｘ^2＝ａ ｍｏｄｐ
となる整数ｘが存在するかどうかを考えると
Ｚ／ｐＺ＝Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝
について代入してみればいいわけで，ｐ＝５の場合，
０^2＝０，１^2＝１，２^2＝４，３^2＝９＝４，４^2＝１６＝１
ですから，ａ＝１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ＝２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，
（１／５）＝（４／５）＝１，（２／５）＝（３／５）＝−１
となります．
（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2} (mod p) （オイラー規準）
（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２ （第１補充法則）
（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２ （第２補充法則）
すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．
後述するクロネッカーの指標やディリクレの指標はルジャンドル記号の計算に還元されるのですが，オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．
それに対して，
（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）＝（−１）^{(p-1)/2}{(q-1)/2}
が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．
前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2＝５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．
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【２】２次体
有理数体Ｑに，ｘ^2−ｄ＝０の根√ｄを添加して得られる体Ｑ（√ｄ）を考えます．すると０，１以外の平方因数をもたない整数ｄ，すなわち，
−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・
によって，Ｑ（√ｄ）は体になり，２次体Ｑ（√ｄ）の元は一意的に
Ｑ（√ｄ）＝｛ａ＋ｂ√ｄ｜ａ，ｂは有理数｝
の形で表されます．とくに，ｄ＝−１のとき
Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）
はガウスの数体となります．
そして，２次体Ｑ（√ｄ）の判別式Ｄは
ｄ＝２，３（ｍｏｄ４） → Ｄ＝４ｄ
ｄ＝１（ｍｏｄ４） → Ｄ＝ｄ
となるのですが，素数ｐがいつ素イデアルに分岐しまた完全分解するかを調べると，有理素数は次のように分解することがわかります．
［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４），Ｄ＝４ｄ
(1)ｐ｜Ｄ → ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ
(2)（ｄ／ｐ）＝＋１ → ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ
(3)（ｄ／ｐ）＝−１ → ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2
［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４），Ｄ＝ｄ
(1)ｐ｜Ｄ → ｐ＝p^2，Ｎ（p）＝ｐ
(2)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝＋１ → ｐ＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ
(3)ｐ≠２，（ｄ／ｐ）＝−１ → ｐ＝p，Ｎ（p）＝ｐ^2
(4)ｐ＝２，ｄ＝１（ｍｏｄ８） → ２＝pp'，Ｎ（p）＝ｐ
(5)ｐ＝２，ｄ＝５（ｍｏｄ８） → ２＝p，Ｎ（p）＝２^2
ここで，（ｄ／ｐ）はルジャンドルの記号で，
（ｄ／ｐ）＝＋１
はｄがｐを法とする平方剰余であることを示しています．すなわち，ｘ^2＝ｄ（ｍｏｄｐ）の解の有無によって，解のあるときｄをｐの平方剰余，ないとき平方非剰余といい，
（ｄ／ｐ）＝−１
と表されます．
この結果から２次体Ｑ（√ｄ）でｐが分岐するための必要十分条件は
ｐ｜Ｄ
であることがわかります．割れなければｐはＱ（√ｄ）で不分岐です．
一般に，代数体の判別式Ｄは基底の選び方には依存しない整数であり，代数体の大切な不変量の１つとなっているのですが，重根をもつ・もたないの判別ではなく，素数の分解・分岐など素イデアルの分解法則と密接に関係しているのです．
２次体Ｑ（√ｄ）には，各素数ｐに対して（０，１，−１）を値にもつクロネッカーの指標χ（ｐ）があり，
χ（ｐ）＝０ （分岐）
＝＋１ （完全分解）
＝−１ （ｐは２次体でも素）
と定義されます．
具体的には，Ｄを判別式として
ｐ｜Ｄ → χ（ｐ）＝０
ｐ≠２ → χ（ｐ）＝（Ｄ／ｐ）
ｐ＝２ → χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}
のように計算されるのですが，
ｐ＝２ → χ（ｐ）＝（−１）^{(Ｄ^2-1)/8}
はｄ＝１（ｍｏｄ４）のときのみに起って，右辺は第２補充法則によっています．
たとえば，Ｑ（√−１）＝Ｑ（ｉ）の世界では，
χ（５）＝（−１／５）＝１ （第１補充法則）
より，素数５は２つの相異なる素イデアルの積となり
５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）
と分解されるというわけです．
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【３】類数の計算
Ｑ（√ｄ）はイデアルの同値類を有限個しかもちません．このイデアル類の数は類数と呼ばれ，ｈ（ｄ）で表されます．類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）なのですが，ミンコフスキーの定数Ｍ
Ｍ＝1/2√Ｄ （実２次体）
Ｍ＝2/π√-Ｄ （虚２次体）
を具体的に決定して，いくつかの場合に類数を決定することができます．たとえば，
［Ｑ］次の４つの実２次体Ｋ＝Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√５），Ｑ（√１３）に対して，ｈ＝１を証明せよ．
［Ａ］ Ｍ＝1/2√Ｄ
ですから，４≦Ｄ＜１６ならばｈ＝１になります．ここで，
ｄ＝２，３（ｍｏｄ４） → Ｄ＝４ｄ
ｄ＝１（ｍｏｄ４） → Ｄ＝ｄ
ですから，ｄ＝２，３，５，１３が合格です．
［Ｑ］次の９つの虚２次体Ｑ（√ｄ）に対して，ｈ＝１を証明せよ．
−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３
［Ａ］ Ｍ＝2/π√-Ｄ＝０．６３６６３√-Ｄ
です．−ｄ＝１，２，３，７のときは，
Ｄ＝４，８，３，７
で，Ｍ＜２となり，ｈ＝１となります．
その他の場合はｄ＝１（ｍｏｄ４）でＤ＝ｄとなるのですが，Ｍ＝２で−ｄ＝１１，１９のときは
−１１＝５，−１９＝５ （ｍｏｄ８）
より２は２次体でも素ですから，ｈ＝１となります．なお，それぞれ
χ（２）＝（−１）^15＝−１，χ（２）＝（−１）^45＝−１
と同値です．χはクロネッカーの指標です．
Ｍ＝４では
−４３＝５（ｍｏｄ８） （χ（２）＝（−１）^231と同値）
（−４３／３）＝（−１／３）＝−１
より，Ｑ（√−４３）は類数１をもちます．
同様の計算から，Ｍ＝５のとき，類数１をもつ判別式はＤ＝−６７
χ（２）＝−１，
χ（３）＝（−６７／３）＝（−１／３）＝−１，
χ（５）＝（−６７／５）＝（−２／５）＝（−１／５）（２／５）＝−１
Ｍ＝８のとき，類数１をもつ判別式はＤ＝−１６３
χ（２）＝−１，
χ（３）＝（−１６３／３）＝（−１／３）＝−１，
χ（５）＝（−１６３／５）＝（−３／５）＝（２／５）＝−１
χ（７）＝（−１６３／７）＝（−２／７）＝（−１／７）（２／７）＝−１
以下，同様の論法で続けてもよいのですが，類数が１となる判別式は他には存在しません．ｈ＝１なる虚２次体Ｑ（√ｄ）はこれしかないというのが，有名な「シュタルクの定理」です．１９６６年，ベイカーとシュタルクは独立に類数１の虚２次体Ｑ（√ｄ）すなわち（ｄ＜０，ｄは平方因子をもたない）なる２次体をすべて決定したのですが，それによると，
−ｄ＝１，２，５，７，１１，１９，４３，６７，１６３
類数１をもつというのは，Ｑ（√ｄ）のすべてのイデアルが単項であること，すなわち，２次体Ｋのすべての代数的整数が，Ｋの素数の積として表され，その表現が単数（１の約数となる整数）を無視して，一意であることをいいます．
別の言葉でいうと，イデアルと数のずれがないということですが，類数とはすべての数体に付随した不変量（自然数）であって，たとえば，有理数体Ｑは類数１をもち，ガウスの数体Ｑ（ｉ）も類数１をもちます．類数１をもつ数体はＱと類似した数論的性質をもつのですが，大きな類数をもつ数体はＱとかなりかけ離れた性質をもっているというわけです．
ついでながら，ｈ＝２なる虚２次体Ｑ（√ｄ）は，
−ｄ＝５，６，１０，１３，１５，２２，３５，３７，５１，５８，９１，１１５，１２３，１８７，２３５，２６７，４０３，４２７
の１８個あります．
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【４】ディリクレのＬ関数
Ｌ(s,χ)＝Σχ(n)／ｎ^s
はディリクレのＬ関数，χ(n)はディリクレの指標と呼ばれます．
ディリクレのＬ関数はリーマンのゼータ関数を一般化したものになっていて，たとえば，数列｛χ(n)｝を｛χ(n)｝＝｛１，１，１，１，・・・｝とすると，
１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2／６
１／１^4＋１／２^4＋１／３^4＋１／４^4＋・・・＝π^4／９０
は，それぞれＬ(2,χ)＝π^2／６，Ｌ(4,χ)＝π^4／９０という公式です．
また，｛χ(n)｝＝｛１，−１，１，−１，・・・｝では，Ｌ(1,χ)＝ｌｏｇ２，すなわち，
１／１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２
χ(0 mod 4)=0,χ(1 mod 4)=1,χ(2 mod 4)=0,χ(3 mod 4)=-1についてのディリクレのＬ関数
１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−・・・＝π／４
１／１^3−１／３^3＋１／５^3−１／７^3＋・・・＝π^3／３２
はＬ(1,χ)=π／４，Ｌ(3,χ)=π^3／３２
ちょっと複雑なものとしては
１／１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋（正負は３ごとに繰り返す）・・・＝π／３√３
はｍｏｄ３で，χ(0 mod 3)=0,χ(1 mod 3)=1,χ(2 mod 3)=-1についてのディリクレのＬ関数．
１／１−１／３−１／５＋１／７＋１／９−１／１１−１／１３＋１／１５＋（正負は８ごとに繰り返す）・・・＝１／√２ｌｏｇ（１＋√２）
はｍｏｄ８について，χ(0 mod 8)=0,χ(1 mod 8)=1,χ(2 mod 8)=0,χ(3 mod 8)=-1,χ(4 mod 8)=0,χ(5 mod 8)=1,χ(6 mod 8)=0,χ(7 mod 8)=-1のディリクレのＬ関数と総称される一群の関数の値についての公式なのです．
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ディリクレのＬ関数Ｌ（ｓ，χ）はｓ＞１で収束します．また，
Ｌ（ｓ，χ）＝Σχ(n)／ｎ^s＝Π（１−χ(ｐ)ｐ^(-s)）^(-1)
という積表示をもちます．ｐはｍｏｄｍのｍを割り切らないすべての素数をわたります．この積表示はオイラー積の一般化となっています．
ディリクレのＬ関数は１次のゼータの例ですが，最初のゼータであるオイラー積と２次のゼータの始まりであるラマヌジャン予想についても述べておきましょう．
リーマンのゼータ関数は，もうひとつの重要な表示をもっています．
ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
右辺Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)をオイラー積表示といい，オイラーが１７３７年に発見したものです．
Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)＝Π（１＋ｐ^(-s)＋ｐ^(-2s)＋・・・）
ですが，素因数分解の一意性より
Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)＝Σｎ^(-s)
となることが証明されます．
２０世紀にになって，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました（１９１６年）．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，
Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)
とおくと
Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)
が成り立つことを予想したのです．
それまでは，
ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)
のように，積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，オイラー積と比較してみるとわかるように，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しており，歴史上最初の２次のゼータといえるのです．
新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．
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【５】２次体とディリクレ指標
ところで，
χ(0 mod 8)=0,χ(1 mod 8)=1,χ(2 mod 8)=0,χ(3 mod 8)=-1,
χ(4 mod 8)=0,χ(5 mod 8)=1,χ(6 mod 8)=0,χ(7 mod 8)=-1
の右辺（０，１，−１）と左辺のｍｏｄ８は何を意味しているのでしょうか？
（０，１，−１）がディリクレ指標なのですが，ディリクレ指標も素数ｐを与えれば確定する指標で，ルジャンドル記号の計算に還元されます．たとえば，χ(ｐ)＝（３／ｐ）の場合，ガウスの平方剰余の相互法則において，ｑ＝３とおくと
（３／ｐ）（ｐ／３）＝（−１）^{(p-1)/2}
（ｐ／３）は簡単に計算できて
ｐ＝＋１（ｍｏｄ３）のとき１，
ｐ＝−１（ｍｏｄ３）のとき−１
一方，（−１）^{(p-1)/2}は
ｐ＝＋１（ｍｏｄ４）のとき１，
ｐ＝−１（ｍｏｄ４）のとき−１
ですから，まとめると
ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→ １
ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２） → −１
それ以外のとき → ０
となることが理解されます．
すなわち，２次体Ｑ（√３）に対応するディリクレ指標が
ｐ＝１または１１（ｍｏｄ１２）→ １
ｐ＝５または７（ｍｏｄ１２） → −１
それ以外のとき → ０
であり，また，対応するディリクレのＬ関数が
Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／５^s−１／７^s＋１／１１^s＋・・・
であるというわけです．
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以下，結果だけを紹介します．
［１］Ｑ（√−１）
（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２ （第１補充法則）
ですから，
ｐ＝１（ｍｏｄ４） → １
ｐ＝３（ｍｏｄ４） → −１
それ以外のとき → ０
Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・
［２］Ｑ（√２）
（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２ （第２補充法則）
ｐ＝１，７（ｍｏｄ８） → １
ｐ＝３，５（ｍｏｄ８） → −１
それ以外のとき → ０
Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s−１／５^s＋１／７^s＋・・・
［３］Ｑ（√−２）
（−２／ｐ）＝（２／ｐ）（−１／ｐ）＝（２／ｐ）（−１）^{(p-1)/2}
ｐ＝１，３（ｍｏｄ８） → １
ｐ＝５，７（ｍｏｄ８） → −１
それ以外のとき → ０
Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s＋１／３^s−１／５^s−１／７^s＋・・・
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【６】まとめ
最後に要点をまとめておきましょう．２次体とディリクレ指標が対応するとき，ディリクレ指標は２次体における素数の分解を記述するものになります．
たとえば，Ｑ（√２）においては，ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）なる素数が
７＝（３＋√２）（３＋√２）
１７＝（５＋２√２）（５−２√２）
ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2
Ｑ（√−２）においては，ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）なる素数が
３＝（１＋√−２）（１−√−２）
１１＝（３＋√−２）（３−√−２）
ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2
のように分解されます．
こうして冒頭に掲げた類体論の話に至るのです．
「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」
「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」
「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」
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