これまでの検討から，このシリーズの中心に位置する式が，

　　Σcos(2nx)/n=-log(sinx)-log2

を微分して得られる

　　cotx=cosx/sinx=2Σsin2x=2(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

と

　　Σcos((2n-1)x)/(2n-1)=1/2*log(cot(x/2))

を微分して得られる

　　cosecx=1/sinx=2Σsin(2n-1)x=2(sinx+sin3x+sin5x+･･･)

であることがわかっている．

　

　前者からは奇数ゼータが生み出され，また，後者は偶数Ｌ関数を生成する．２つの式より

　　cosx(sinx+sin3x+sin5x+･･･)=(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

となることも容易に導き出せる．左辺右辺とも三角関数の無限級数の形式となっている．

　

　仕事の都合からしばらくの間連載を休んでいる間に，杉岡幹生氏の進展との間に大きなギャップを生じてしまったが，これから少しずつ杉岡氏の成果を紹介したいし，溝も埋めていきたい．今回のコラムではゼータ関数からは少し離れることになるが，三角関数の無限級数ではなく三角関数の有限和について触れてみたい．隙間を埋めるためには適当（無難？）な話題であろう．

　

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【１】正弦・余弦の和公式

　

　等差級数

　　Ｓ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ

の値を求めるのに，逆順にして

　　Ｓ＝ｎ＋（ｎ−１）＋（ｎ−２）＋・・・＋１

辺同士を加えると

　　２Ｓ＝（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋（ｎ＋１）＋・・・＋（ｎ＋１）

より，

　　Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　

　これが等差級数の和公式で，これを使うと，たとえば１から１００まで数の合計が５０５０であることが瞬時に計算できることはご存知であろう．

　

　この取り扱いと似た方法で，正弦の和公式

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎｎα

　＝ｓｉｎ（ｎα／２）ｓｉｎ｛（ｎ＋１）α／２｝／ｓｉｎ（α／２）

を証明してみよう．

　

（証明）

　　Ｔ＝ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎ（ｎα）

　　Ｔ＝ｓｉｎ（ｎα）＋ｓｉｎ（ｎ−１）α＋ｓｉｎ（ｎ−２）α＋・・・＋ｓｉｎα

　

　ここで，和から積への式

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎβ＝２ｓｉｎ（α＋β）／２ｃｏｓ（α−β）／２

を用いると

　　２Ｔ＝２ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｃｏｓ（１−ｎ）α／２＋ｃｏｓ（３−ｎ）α／２＋・・・＋ｃｏｓ（ｎ−３）α／２＋ｃｏｓ（ｎ−１）α／２｝

　

　両辺にｓｉｎα／２を掛けて，積から和への公式

　　ｓｉｎαｃｏｓβ＝１／２｛ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α−β）｝

を用いると

　　２Ｔｓｉｎα／２

＝ｓｉｎ（ｎ＋１）α／２｛ｓｉｎｎα／２＋ｓｉｎ（１−ｎ／２）α＋・・・＋ｓｉｎ（−１＋ｎ／２）α＋ｓｉｎｎα／２｝

＝２ｓｉｎ｛（ｎ＋１）α／２｝ｓｉｎ（ｎα／２）

　

　もちろんこの方法で，無限級数の公式

　　cosx(sinx+sin3x+sin5x+･･･)=(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

も証明できる．

　

　なお，この式と

　　Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２

の間の形式的類似，

　　ｎ　　　←→　ｓｉｎ（ｎα／２）

　（ｎ＋１）←→　ｓｉｎ｛（ｎ＋１）α／２｝

　　２　　　←→　ｓｉｎ（α／２）

すなわち，ｓｉｎを関数ではなく代数であるかのように扱うと

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ３α＋・・・＋ｓｉｎ（ｎα）

　＝ｓｉｎ（ｎα／２）ｓｉｎ｛（ｎ＋１）α／２｝／ｓｉｎ（α／２）

が得られることに注意せよ．

　

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　同様に，余弦の和公式

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ３α＋・・・＋ｃｏｓ（ｎα）

　＝ｓｉｎ（ｎα／２）ｃｏｓ｛（ｎ＋１）α／２｝／ｓｉｎ（α／２）

も証明できる．

　

　これらの式において，α＝π／ｎとおくと

　　Σｓｉｎｋπ／ｎ

　＝ｓｉｎπ／ｎ＋ｓｉｎ２π／ｎ＋・・・＋ｓｉｎｎπ／ｎ

　＝ｃｏｔπ／２ｎ

　

　　Σｃｏｓｋπ／ｎ

　＝ｃｏｓπ／ｎ＋ｃｏｓ２π／ｎ＋・・・＋ｃｏｓｎπ／ｎ

　＝−１

　

　さらに，

　　ｓｉｎα＋ｓｉｎ３α＋ｓｉｎ５α＋・・・＋ｓｉｎ（２ｎ−１）α

　＝ｓｉｎ^2ｎα／ｓｉｎα

　　ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ４α＋ｓｉｎ６α＋・・・＋ｓｉｎ２ｎα

　＝ｓｉｎｎαｓｉｎ（ｎ＋１）α／ｓｉｎα

　

　　ｓｉｎｎαｃｏｓα＝１／２｛ｓｉｎ（ｎ＋１）α＋ｓｉｎ（ｎ−１）α｝

であるから，冒頭に掲げた式

　　cosx(sinx+sin3x+sin5x+･･･)=(sin2x+sin4x+sin6x+･･･)

の有限版は

　　cosx(sinx+sin3x+sin5x+･･･+sin(2n-1)x)

　 =1/2･sinnxsin(n+1)x/sinx+1/2･sin(n-1)xsinnx/sinx

　 =1/2･(sin2x+sin4x+sin6x+･･･+sin2nx)+1/2･(sin2x+sin4x+sin6x+･･･+sin2(n-1)x)

　 =(sin2x+sin4x+sin6x+･･･+sin2(n-1)x)+1/2･sin2nx

となることがわかる．

　

　　ｃｏｓα＋ｃｏｓ３α＋ｃｏｓ５α＋・・・＋ｃｏｓ（２ｎ−１）α＝ｓｉｎ２ｎα／２ｓｉｎα

α＝π／（２ｎ＋１）とおくと，

　　Σｃｏｓ（２ｋ−１）π／（２ｎ＋１）

　＝ｃｏｓπ／（２ｎ＋１）＋ｃｏｓ３π／（２ｎ＋１）＋・・・＋ｃｏｓ（２ｎ−１）π／（２ｎ＋１）

　＝１／２

　

　　ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ４α＋ｃｏｓ６α＋・・・＋ｃｏｓ２ｎα

　＝ｓｉｎｎαｃｏｓ（ｎ＋１）α／ｓｉｎα

　

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【２】正弦・余弦の積公式

　

　正弦・余弦の和公式はフーリエ級数との関連で研究された歴史がある．一方，和公式ほどよく知られていないが，正弦・余弦の積公式としていろいろな公式が登場してくる．ここでは証明は省いたが，複素数を使って証明するのが一番の近道であろう．

　

　　Πｓｉｎｋπ／ｎ＝ｓｉｎπ／ｎ・・・ｓｉｎ（ｎ−１）π／ｎ

　　　　　　　　　　＝ｎ／２^(n-1)

　

　　Πｓｉｎ（θ＋ｋπ／ｎ）

　＝ｓｉｎ（θ＋π／ｎ）・・・ｓｉｎ（θ＋（ｎ−１）π／ｎ）

　＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

　

　ここで，θ→θ−π／２ｎと置き換えれば

　　Πｓｉｎ（θ＋（２ｋ−１）π／ｎ）＝ｃｏｓｎθ／２^(n-1)

θ＝０とおけば

　　Πｓｉｎ（（２ｋ−１）π／ｎ）＝１／２^(n-1)

また，θ＝π／２とおけば

　　Πｃｏｓｋπ／ｎ＝ｓｉｎ（ｎπ／２）／２^(n-1)

などを導き出すことができる．

　

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【３】漸近挙動の世界（無限的公式）

　

　微積の学び初めに，ｘ→０としたとき，

　　ｓｉｎｘ／ｘ→１

に出会う．この結果は

　　（ｓｉｎｘ）’＝ｃｏｓｘ，（ｃｏｓｘ）’＝−ｓｉｎｘ

を示すのに用いられる．

　

　その後，ｓｉｎｘのテイラー展開によって，無限級数

　　ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３！＋ｘ^5／５！−ｘ^7／７！＋・・・

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝１−ｘ^2／３！＋ｘ^4／５！−ｘ^6／７！＋・・・

が示される．

　

　それでは，任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２・ｃｏｓｘ／４・ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

　

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２・ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝４ｓｉｎｘ／４・ｃｏｓｘ／４・ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝８ｓｉｎｘ／８・ｃｏｓｘ／８・ｃｏｓｘ／４・ｃｏｓｘ／２

　　　　　　　・・・・・

　　　　　　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

　

［補］正弦積分とは，

　　Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ

　　　　　　　＝ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・

として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．また，その特殊値

　　Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２

は，ディリクレ積分と呼ばれる．

　

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　前項では，ｃｏｓｘの無限積表示

　　ｃｏｓｘ＝（１−４ｘ^2／π^2）（１−４ｘ^2／９π^2）（１−４ｘ^2／２５π^2）・・・

を用いているが，ｔａｎｘに対しては，部分分数の無限級数表示

　　ｔａｎｘ＝８ｘ［１／（π^2−４ｘ^2）＋１／（９π^2−４ｘ^2）＋１／（２５π^2−４ｘ^2）＋・・・］

が成り立つ．

　

　ｘ＝π／４とすると，

　　１＝４／π（１−１／３＋１／５−１／７＋・・・）

であるから，グレゴリー・ライプニッツ級数

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋・・・

が導かれる．

　

　グレゴリー・ライプニッツ級数はπを含んでいる無限級数として最初のものなのだが，オリジナルは

　　ａｒｃｔａｎｘ＝ｘ−ｘ^3／３＋ｘ^5／５−ｘ^7／７＋・・・

から発見されたものである．

　

　また，ｘ→０としたときのｔａｎｘ／ｘの漸近挙動から，

　　π^2／８＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・

さらに，

　　Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・

　　　＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／２^2＋１／４^2＋１／６^2

　　　＝１／１^2＋１／３^2＋１／５^2＋・・・＋１／４［１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・］

　　　＝π^2／８＋Ｓ／４

　

　したがって，

　　Ｓ＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＝π^2／６

となるが，これはオイラーにより発見された有名な級数である．

　

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【４】無限級数とフーリエ展開

　

　テイラー展開（ベキ級数展開）は連続な関数にしか適用できないが，フーリエ展開（三角級数展開）はたとえ不連続な関数でも存在するため，１９世紀の解析学に大きな貢献をしるした．

　

　−π＜ｘ＜πの周期関数と見なされる不連続関数ｆ（ｘ）＝ｘのフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝２［ｓｉｎｘ／１−ｓｉｎ２ｘ／２＋ｓｉｎ３ｘ／３−・・・］

　

　ｘ＝π／２とおくと，

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋−・・・（グレゴリー・ライプニッツ級数）

また，ｘ＝π／４とおくと

　　π√２／４＝１＋１／３−１／５−１／７＋＋・・・

この式で，符号は２項毎に交代する．これらはこのシリーズでは

　　Ｌ(1)=π／４，Ｌ2(1)＝π／２√２

と表されているディリクレ関数の特殊値である．

　

　同様に，−π＜ｘ＜πの周期関数と見なすと，ｆ（ｘ）＝ｘ^2のフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝π^2／３−４［ｃｏｓｘ／１^2−ｃｏｓ２ｘ／２^2＋ｃｏｓ３ｘ／３^2−・・・］

　

　ｘ＝πとおくと，

　　π^2／６＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・（オイラー級数）

　

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【５】虚の三角法

　

　オイラーの公式（１７４８年）

　　ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ

ド・モアブルの定理（１７２２年）

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

などは虚（あるいは複素数）の三角法の公式と捉えることができるであろう．

　

　オイラーの公式より

　　ｃｏｓθ＝１／２｛ｅｘｐ（ｉθ）＋ｅｘｐ（−ｉθ）｝

　　ｓｉｎθ＝１／２ｉ｛ｅｘｐ（ｉθ）−ｅｘｐ（−ｉθ）｝

　　ｃｏｓ（ｉθ）＝ｃｏｓｈθ

　　ｓｉｎ（ｉθ）＝ｉｓｉｎｈθ

が成り立ち，複素数の世界では，ｚ＝ｘ＋ｉｙとしたとき，

　　ｓｉｎｚ＝ｓｉｎｘｃｏｓｈｙ＋ｉｃｏｓｘｓｉｎｈｙ

　　ｃｏｓｚ＝ｃｏｓｘｃｏｓｈｙ−ｉｓｉｎｘｓｉｎｈｙ

　　ｅｘｐｚ＝ｅｘｐ（ｘ）ｃｏｓｙ＋ｉｅｘｐ（ｘ）ｓｉｎｙ

などのように書くことができる．

　

　ｓｉｎｚ，ｃｏｓｚが周期２πをもつこと

　　ｓｉｎ（ｚ＋２π）＝ｓｉｎｚ

は複素数の世界でも同じであるが，一方，ｅｘｐｚは虚の周期２πｉをもつ．

　　ｅｘｐ（ｚ＋２πｉ）＝ｅｘｐｚ

　

　平面正弦定理では，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ａ／Ｒ：ｂ／Ｒ：ｃ／Ｒ

であるが，球面正弦定理は

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎ（ｃ／Ｒ）

で表される．

　

　それに対して，双曲的三角法では，

　　ｓｉｎ（ｉθ）＝ｉｓｉｎｈθ

であるから，球面正弦定理のＲをｉＲに置き換えることによって，

　　ｓｉｎα：ｓｉｎβ：ｓｉｎγ＝ｓｉｎｈ（ａ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｂ／Ｒ）：ｓｉｎｈ（ｃ／Ｒ）

が得られる．

　

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