■素数定理の歴史
前回のコラムはゼータ関数の零点分布についての話題でしたが，ゼータ関数の零点の密度は実軸からの距離とともに増加します．一方，素数は大きくなるほどまばらに分布します．
素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，今回のコラムでは素数分布の漸近評価式「素数定理」について取り上げることにしました．とはいえ，素数分布はこれまで何度か取り上げたことのあるテーマです．そのまま再録するのでは気が引けるし，何かとうしろめたいこともあって，理解の助けになるように適宜加筆してあります．
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１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．素数定理とは，
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．
すなわち，素数定理はｘを超えない素数の個数を与える近似的な公式であって，ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘ，あるいは，ランダムにとった整数ｘが素数である確率がおよそ１／ｌｏｇｘだといってもよいでしょうし，また，ｎ番目の素数ｐnについての漸近評価
ｐn〜ｎｌｏｇｎ
とも等価です．
”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，
π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１ （ｘ→∞）
ということです．
素数定理を予想するにはたくさんの素数が必要になり，実際，素数定理はガウスが素数表を眺めていたときに（実験的に）発見されました．素数定理を合理的に予想することは驚くほど難しいらしいのですが，以下に，この予想を発見的に導くための簡単な発見的議論を示しておきます（マーチン）．
整数ｘが素数である確率がｆ（ｘ）で表されるものとすると，確率１／ｘで自分より大きい素数を割り切る．ここで，ｘをｘ＋１に変更すると
ｆ（ｘ＋１）≒ｆ（ｘ）（１−ｆ（ｘ）／ｘ）
したがって，
ｆ’（ｘ）＝−（ｆ（ｘ））^2／ｘ
より，
ｆ（ｘ）＝１／（ｌｏｇｘ＋ｃ）
を得ることができる．
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１８５０年に，ロシアの数学者チェビシェフは，ベルトランの仮説と呼ばれる命題：任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），あるいは同じことですが，素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という定理を証明しました．
この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．（なお，ベルトランの仮説に対しては，ずっと簡単な証明がラマヌジャンやエルデシュ（１９３２年，１９歳）によって与えられています．）
さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．
ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ
この漸近評価を得るためにチェビシェフは，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）を利用しました．また，この結果を得るのには非常に巧みな組み合わせ的推論が用いられているのですが，漸近評価の一部は不等式
２^2n／（２ｎ＋１）≦2nＣn≦２^2n
に基づいています．上界はΣ2nＣk＝２^2nより明らか，下界は２ｎ＋１個の二項係数の中で2nＣnが最大であり，平均が２^2n／（２ｎ＋１）であることから証明されます．この評価は簡単ではありますが，かなり正確です．
2nＣnについては，さらに正確な評価を与える
２^2n／（２√ｎ）≦2nＣn≦２^2n／√２ｎ
などの評価式もしばしば使われます．また，スターリングの公式を使うとより精密な結果
2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）
が得られますが，この評価は数論，素数定理などとも関係しています．
これまで，この「閑話休題」では標本中央値の漸近分布を求めたり，自由が無限大のｔ分布が正規分布になることや１次元・２次元ランダムウォークが再帰的であるのに対して，３次元以上のランダムウォークが非再帰的（原点に戻ってこれない確率が正）であるを示すのに，スターリングの公式やウォリスの公式，あるいは，2nＣn〜２^(2n)／√（πｎ）などを用いてきました．また，これらの公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などにも用いられますが，ド・モアブル=ラプラスの定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．
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さらに，素数定理にはもっとうまい近似法があります．素数の密度関数はπ（ｘ）／ｘですから，
π（ｘ）／ｘ〜１／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
です．１／ｌｏｇｘが１からｘまでの平均的な素数の密度と考えられますが，これをｘの近くの素数の密度と考え，区間［１，ｘ］を小区間に区切って積分してみます．
Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ
Ｌｉ（ｘ）は対数積分関数と呼ばれます．大きい整数は素数でありにくく，小さいものほど素数でありやすいでしょうから，π（ｘ）をｘ／ｌｏｇｘで近似するより，対数積分を用いたＬｉ（ｘ）の近似はさらに適切な素数分布の近似式になっています．
部分積分により
∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ＝ｘ／ｌｏｇｘ＋１！ｘ／（ｌｏｇｘ）^2＋・・・＋（ｍ−１）！ｘ／（ｌｏｇｘ）^m＋・・・
より，
Ｌｉ（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ
ですから
π（ｘ）〜Ｌｉ（ｘ）
が得られます．また，
（ｘ／ｌｏｇｘ）’＝１／ｌｏｇｘ−１／（ｌｏｇｘ）^2
から簡単にわかるように
π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）
とも書くことができます．
素数定理はπ（ｘ）の初項だけを求めた定理であるといえるのですが，自然な流れとして，π（ｘ）の第２項は何かという問題がおこってきます．誤差項
Ｏ（ｘ／ｌｏｇｘ）
において，ｘ→∞のとき，ｌｏｇｘはｘに較べて十分小さいのでこれを無視して「ほぼｘの１乗に等しい」と考えることができます．
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素数定理は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問でしたが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは，同じ年に独立に，リーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明しました．
彼らが素数定理を証明したとき，実際に示したのは
π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−ｃ(ｌｏｇｘ)^(1/2)））
が成り立つということでした．誤差項のｌｏｇｘは無視できるので，ｘの１乗に等しいということになります．
この誤差項はゼータ関数の零点の非存在に依存していて，ｘ^eと表されるとすると，ゼータ関数の零点の実部の最大値に等しくなることがわかっています．したがって，もしリーマン予想「リーマンのゼータ関数ζ（ｓ）の実部が０と１の間にあり，零点の実部はすべて１／２である（１８５９年）」が正しければ，この近似を
π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^(1/2)ｌｏｇｘ）
のようにもっとよくすることができるのです（フォン・コッホ，１９０１年）．
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その後，長い間，素数定理の証明には複素解析的な方法を使用することが避けられないと信じられていましたが，１９４９年，フィールズメダリストのセルバーグとさすらいの数論家エルデシュは独立に複素解析関数の理論を使わない初等的な方法で素数定理を証明し，当時の数学界を大いに驚嘆させました．
セルバーグはこれらの功績によりフィールズ賞（４年に一度開かれる世界数学者会議で数学の著しい研究に対して与えられる賞で，数学界のノーベル賞ともいうべきものである）を受賞していますが，エレガントで独創的な解をもつ問題を探し当てることができる数学者が優れた数学者ということなのでしょう．このとき用いられたセルバーグの跡公式については，コラム「幾何学と数論の相互転化」に短い解説があります．
素数定理の初等的証明はいくつか知られていますが，いずれもかなり難しいものです（たとえば，ハーディー・ライトの「数論入門」第２２章）．そのため，現在でも簡単な証明を求めて研究が続けられています．いつの日にかリーマン予想が解決されれば，素数定理の評価に実質的な改良を期待することもできるでしょうが，ここでは，素数定理をエラトステネスのふるいという初等的な方法を用いて，ラフなスケッチ程度に誘導してみましょう．
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ｘまでのすべての整数うちで，奇数，すなわち２で割れない数は大体半分（１−１／２）あります．奇数のうちで，３で割り切れない数は２／３＝１−１／３あります．さらに，残っている数のうち，５で割り切れない数は１−１／５あります．したがって，ｘを越えない素数の個数はこれらの積をすべての素数ｐにわたってとればよいことになり，近似的に
Π（１−１／ｐ）・ｘ
に等しくなります．
さらに，Π（１−１／ｐ）は近似的に１／ｌｏｇｘに等しくなります．ただし，これを証明するのは微積分を使っても容易ではありません．専門的で，ここで説明することはできそうにありませんから，天下り式に結果だけを示しておきます．このことを認めれば，素数定理π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘが導出されたことになります．
ガウスによって基礎づけられ，これらの数学者たちが磨き上げた素数定理はいまのところ不十分かつ不完全で，所詮，概算にすぎません．どれくらい速くこの比が１に近づくのかを特定できないし，ましてやある数まで数えてゆく間にいくつ素数があるのかを正確に教えてくれはしません．そのような精密な公式があれば素数定理より断然優ることはいうまでもありません．
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［補］素数が無限に存在すること，√２が無理数であることはギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．同様に，調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること
１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞
も容易に示すことができます．
それでは，素数の逆数の和
Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・
は有限でしょうか？
（証明）調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示するとΠ（１−１／ｐ）^(-1)と書けますから，
Π（１−１／ｐ）^(-1)〜∞．
また，ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）．１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より，Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）ですから，Σ（１／ｐ）＝∞になります．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示されます．
１７３７年，オイラーは素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．このことから，素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．
さらに，このことを詳しく調べると，
Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ） （ｐはｐ≦ｘの素数を動く）
などがわかってきます．ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数です．また，素数の逆数の和Σ（１／ｐ）については
｛Σ（１／ｐ）−ｌｏｇｌｏｇｎ｝→０．２６１４９・・・
が知られています．
Σ（１／ｐ）はｘに近い整数について，その素因数の個数の近似値を与えるもので，ハーディーとラマヌジャンにより明らかにされています．なお，これらの式から
Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）
がでますが，両辺の指数をとると前にあげた
Π（１−１／ｐ）〜１／ｌｏｇｘ
が得られます．
［補］メルテンスの定理
Π（１−１／ｐ）〜ｅｘｐ（−γ）／ｌｏｇｘ
ここで，γはオイラーの定数です．極限値
ｌｉｍ（Σ１／ｋ−ｌｏｇｎ）
はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．
オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．なお，整数の割算ｎ／ｍ（ｎ＞ｍ）の商の小数部分についてのｍに関する平均は，ｎが大きくなると，（１／２ではなく）オイラーの定数γに近づくことが証明されています（プーサン，１８９８年）．
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［補］Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６
積分
Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ
において，１／（１−ｘｙ）を幾何級数として展開し，項別積分すると
Ｉ＝Σ１／（ｎ＋１／２）^2
このとき，
１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・
の値が必要になりますが，この値はζ（２）＝Σ１／ｎ^2から次のようにして求まります．
１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・
＝（１＋１／２^2＋１／４^2＋・・・）（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）
＝１／（１−１／４）・（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）
分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は
{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）
となるのです．
偶数の項
１／２^2＋１／４^2＋１／６^2＋・・・＝1/4ζ（2）
となるので，奇数の項
１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・＝3/4ζ（2）
となるというわけです．したがって，
∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ＝（４−１）ζ（2）
さらにζ（3）は，ｃ：０＜ｘ＜ｙ＜ｚ＜１として
ζ（3）＝∫(c)ｄｘｄｙｄｚ／（１−ｘ）ｙｚ
ある数が周期であるとは「代数的係数多項式で与えられる領域ｃ上で，代数係数の代数的関数の積分として表される」ことをいいます．→コラム「数にまつわる話」参照
このように，ｓ≧２のすべての整数でのζ（ｓ）値は周期になることがわかっていますが，１９７９年，ボイカーズはアペリの論じている考えを土台にして，ζ（3）の無理数性
｜ａnζ（3）−ｂn｜＜α^(-n)
を導き出しました．→コラム「ゼータとポリログ関数」参照
また，ランダムに２つの整数をとればそれが互いに素である確率は，６／π^2（約６０％）です．
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［補］ルジャンドルの予想
「ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数が存在する」
この予想は未解決である．
［補］ゴールドバッハの予想
「ｎ＞４の偶数は，２つの奇素数の和である」
「ｎ≧９の奇数は，３つの奇素数の和である」
ヴィノグラドフは１９３７年，ハーディー・リトルウッドの円周法を用いて，十分に大きいすべての奇数は３つの奇素数の和であること（３素数問題）を証明した．
円周法はウェアリングの問題「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」に対しても応用されている．
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