シンク関数の数学的諸性質

　シンク関数（あるいはカージナルサインとも呼ばれる）とは，

　 sinc(x)=sin(x)/(x)

で定義される関数です．ｘ＝０のときは，

と定めることにします．

　シンク関数は１本スリットがつくる１次元的回折光の干渉縞の強度分布を表す関数として，物理学の応用上重要であり，その場合，

　 sinc(x)=sin(πx)/(πx)

　　∫(-∞,∞)sinc(x)dx=1,

　　∫(-∞,∞)sinc^2(x)dx=1,

　　∫(0,∞)sinc(x)dx=1/2

が成り立ちます．

　今回のコラムでは，シンク関数の数学的諸性質，とくに（超）立方体の断面積との関係について取り上げて紹介していきたいと考えています．

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【１】シンク関数とゼータ関数

　シンク関数は

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝Σ(-1)^mｘ^2m/(2m+1)!

　　　　　　　　＝１－１／３！ｘ^2 ＋１／５！ｘ^4 －・・・

　　　　　　　　＝１－１／６ｘ^2＋１／１２０ｘ^4－・・・

とベキ級数表示することが可能です．

　このことに関連して，高校の微積分の時間に，ｘ→０としたとき，

　 sin(x)/(x)→１　すなわち　ｓｉｎ（ｘ）→ｘ

となることを教わったことを憶えておられる方も多いと思われますが，これがｘ＝０のとき，

と定義する根拠になっています．

　さらに，シンク関数

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝０

の解が±π，±２π，±３π，±４π，・・・となることを利用して，無限積表示すると

　　sinx/x=(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)(1-x^2/16π^2)･･･

　　　　　=Π(1-x^2/k^2π^2)→［補］

　　sinx/x=1-1/6x2+120x4-･･･　　（ベキ級数表示）

　　sinx/x=Π(1-x^2/k^2π^2)　　（無限積表示）

　　　　　=1-1/π^2(Σ1/k^2)x^2+･･･

の両辺を比較することにより，

　　Σ1/k^2=π^2/6，Σ1/k^4=π^4/90，･･･

が計算されます．

　Σ1/k^2はリーマンのゼータ関数ζ(2)に，Σ1/k^4はゼータ関数ζ(4)に相当します．すなわち，

　　ζ(2)=π^2/6，ζ(4)=π^4/90，

　　ζ(6)=π^6/945，ζ(8)=π^8/9450，・・・

と続きます．そして，解析接続の後，

　　ζ(0)=-1/2，ζ(-1)=-1/12，ζ(-3)=1/120，ζ(-5)=-1/252，・・・

が得られます．

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【２】シンク関数とルベーグ積分

　ある関数がほとんど至るところで連続であれば，狭義のリーマン積分は存在します．この「ほとんど至るところ」という概念は，確率論や超関数の理論などで重要です．

　そして，狭い意味でのリーマン積分なら，

　　命題：リーマン積分可→ルベーグ積分可

はYesとなります．すなわち，有界な閉区間ではリーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能であり，リーマン積分が存在する場合はルベーグ積分とリーマン積分の値は一致するのです．この意味で，ルベーグ積分はリーマン積分の拡張となっています．

　しかし，広義積分の場合は事情が異なってきます．広義のリーマン積分を除外したわけは，広義積分に関しては，リーマン積分可能であり，ルベーグ積分不可能な例があるからなのですが，シンク関数はその例外的なケースにあたります．

　（定義）ここで，ルベーグ積分可能な関数f(x)とは，関数|f(x)|がルベーグ積分可能なことである．

のときの広義積分∫(0,∞)f(x)dxに関して，

　　∫(0,∞)|f(x)|dx　～　1+1/2+1/3+･･･→∞

　　∫(0,∞)f(x)dx=π/2

　このように，リーマン積分可能であり，ルベーグ積分不能な関数は存在するのです．ただし，その関数の絶対値の積分は，リーマン，ルベーグともに積分不能です．

　リーマン積分可能だがルベーグ積分が可能でないのは，例外的なケースであって，このような関数はたくさん構成できると思われますが，重箱の隅をつつくような例に過ぎないと考えられます．

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【３】シンク積分

シンク積分（あるいはディリクレ積分）→［補］

　　∫(0,∞)sincxdx=∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．

　また，決して有名ではないが，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2

も成り立ち，これらは一般に

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx=π/2

と書くことができる．

　Mathematicaを用いて計算してみても，

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,

　　k=1/(2i+1),i=0~

において，ｉ≦６でπ/2となる．

　ところが，ｉ＝７のとき，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π

　　R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000

　　 =0.499999999992646･･･

となって，π/2とはならないのである．

　これは数式処理ソフトのバグのようにみえるかもしれないが，このような器用なバグは作ることは難しい．いろいろ試してみると間違いであるとは考えにくく，本件では「数式処理ソフト」は正しいということになりそうである．

　さらに検証してみると，ｉ≧７で右辺はπ/2にはならず，ｉ＝８では，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π

　　R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000

ｉ≧９でも同様に，有理数ではあるが簡単なものにはならなかった．

　次に，係数を変えて

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,

　　k=1/(3i+1),i=0~

を計算してみた結果，ｉ≦１０でπ/2となった．ｉ≧１１は計算しなかったが，一体どうなっているのだろう．（これ以外のケースも試したが，感心なことに，Mathematicaではそれなりに答えを出してくれるのである．）

　この件に関しては証明ができればさらに面白いのだが，ルベーグ積分の可能性との関連で，証明は面倒になりそうである．実際に証明に挑戦してみないとわからないが，数式ソフトの問題ではなく，証明可能な式のようだ．

　　∫(0,∞)sincxdx=∫(0,∞)sinx/xdx=π/2

という事実から何とかするのだと思うが，・・・

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　結局，自力で証明することを早々に諦めて，

　　David Borwein,Johnathan M. Borwein: Some remarkable properties of sinc and related integrals; The Ramanujan Journal, in press. CECM preprint 99,142 (available from http://www.cecm.sfu.ca/preprints)

を参照することにした．

　ここでは紹介しないが，フーリエ変換によって解析学的に証明される．それによると

　　∫(0,∞)Πsinc(kx)dx

は，Σｋ＜２のときπ/2となるということである．すなわち，k=1/(2i+1)の場合，第６項までだと

　　1+1/3+･･･+1/13<2

だが，第７項まででは

　　1+1/3+･･･+1/13+1/15>2

また，k=1/(3i+1)の場合，第１０項まで計算しても

　　1+1/4+･･･+1/28+1/31<2

　この論文には，例の積分を提示したあと，

When this fact was recentry verified by a reseacher using a computer algebra package, he concludeed that there must be a "bug" in software. Not so. In the above example 1/3+....+1/13<1 but with the addition of 1/15, sum exceeds 1 and identity no longer holds.....(p14)

　その後，代数的な式に，具体的な係数値を代入して，

　　∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π

　　R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000

　　 =0.499999999992646･･･

を得ることができたことから，本件ではバグではなく，「数式処理ソフト」は正しいということが確認されたことになる．

　ここで不思議になるのは，Borweinの論文がでる前に，どうやってMathematicaは正しい結果を計算したか？である．とにかく数式処理ソフトの実力には感心させられるが，Mathematicaの積分，極限等の公式については，カンファレンス等でどの様な公式集によったか，どのように確認したかは公表されているようで，文献を丹念に追っていけばソースは明らかになるようである（阪本ひろむ氏談）．

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【４】シンク積分と超立方体の断面積

　畏友・阪本ひろむ氏より，次なる情報が寄せられた．関連する公式を公式集で発見し，Mathematicaで検算してみたというものである．

　　"Table of Integrals,Series and Products"

　　I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik,6th Edition,Academic Press

p431-432である．そこには，

　　∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^ndx

とくにn=1,2,3の場合が掲げられていてる．

　それらはSinとSignがやたらとでてくる公式であって，例えば，ａ，ｂ，ｃを正の定数０＜ａ≦ｂ≦ｃとし，

(1)ａ＋ｂ≦ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab

(2)ａ＋ｂ＞ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab-1/4(a+b-c)^2

が成り立つ，などである．

　これらをみて当該の公式の”幾何学的証明"が

　　丹野修吉「空間図形の幾何学」，培風館

に掲載されていたことを思い出した．

　(1)の場合は，積分値がｃの値によらないことに注意していただきたいのだが，丹野先生はこれらを超立方体と超平面の交わり部分の体積として証明していて，ａ＋ｂ≦ｃならば積分値がｃに依存しないことは，平面が立方体の上面に交わらないことに対応するもので，この驚くべき結果も超立方体と超平面の関係を考えると理解できるというものであった．以下，微力ながら，幾何学的証明について解説したい．

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　原点を中心とするｎ次元超立方体[-1/2,1/2]^nと原点を通る任意のｎ次元超平面：Ｈ（ａ）

　　ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn＝０

の交わり（切り口の体積）について考えてみましょう．

　その前に，まず，ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０で，その場合，原点を中心とするｎ次元超立方体と超平面ａｘ’＝０は必ず交わります．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ∥ａ∥で割ったベクトルａ／∥ａ∥を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ－１次元の線形多様体を超平面というのです．

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［２］ボールの定理

　原点を通り，ａに直交する超平面がＨ（ａ）なのですが，ａの成分は，

　　０≦ａ1≦ａ2≦・・・≦ａn

を満たすものとしても一般性を失われません．もし，ａkが負ならば，ｘk軸の向きを逆にすることにより，ａkは正となるからです．

　このとき，Ｈ（ａ）によるｎ次元単位立方体の切り口の体積は

　　Ｖn（ａ）＝1/π∫(-∞,∞)Πsinc(ａkｘ)dx

と表されます（ボールの定理，1986年）．この定理は，主として確率論的議論によって証明されるということです．　

　また，同じく，ボールによって

　　１≦Ｖn（ａ）≦√２

であることも証明されています（ボールの不等式）．

　ボールの不等式は「１辺の長さが１の正方形（２次元単位立方体）の切り口は単に線分になるから，その長さが最大となるのは対角線であって，最大値は√２となる．対角線とは頂点とその対角にある頂点を結ぶ線分で，正方形の原点を通るものである．また，（３次元）単位立方体の断面は，３角形・４角形・５角形・６角形などいろいろな形をとるが，立方体の中心を通り，辺とその対蹠に位置する辺を含む平面で切ったとき，断面積は最大値√２になる．」ことをもっと高次元化しても成り立つことを主張するものです．→コラム「高次元の球と立方体の断面積」

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［３］丹野の定理

　２次元平面上で辺の長さ１の正方形と直線の交わり（切り口）は単なる線分の長さになります．ここでは，０≦ａ1≦ａ2の場合を考えますから，直線はｘ軸とｙ＝－ｘに挟まれた領域を動けることになり，正方形の上辺，下辺には交わりません．

　したがって，交わりをｘ軸に射影した線分の長さは１であり，ｎ＝（０，１）とａ＝（ａ1，ａ2）の内積を考えることによって，求める線分の長さ（体積）は

　　Ｖ2（ａ）＝１／ａ2

であることがわかります．

　３次元の場合は，少し複雑になるのですが，

(1)ａ3＞ａ1＋ａ2の場合は，立方体の上面には交わらないので，２次元の場合と同様にして，

　　Ｖ3（ａ）＝１／ａ3

(2)ａ3＜ａ1＋ａ2の場合は上面に交わるので，その分補正が必要となるのですが，｛｝内で（）の中が正のときのみ和をとるという意味の演算記号｛｝_を導入して，

　　Ｖ3（ａ）＝１／ａ3－１／ｃ｛（ａ1＋ａ2－ａ3）^2｝_

　　ｃ＝４ａ1ａ2ａ3

で与えられることが求められます．この式は(1)の場合も含んでいます．

　４次元の場合は，

　　Ｖ4（ａ）＝１／ａ4－１／ｃ［｛（ａ1＋ａ2＋ａ3－ａ4）^3｝_－｛（ａ2＋ａ3－ａ1－ａ4）^3｝_］

　　ｃ＝２４ａ1ａ2ａ3ａ4

となるのですが，これらの考察を高次元化していくことによって，次の定理が与えられます（丹野の定理，1990年）．

　　Ｖn（ａ）＝１／ａn－１／ｃΣ(-1)^(r-1)Σ_Ｌr^(n-1)

　　ｃ＝（ｎ－１）！２^(n-2)ａ1ａ2･･･ａn，ｒ＝1~n-2

　ここで，Ｌrは

　　Ｌr＝ａk(1)＋・・・＋ａk(n-r)－ａk(n-r+1)－・・・－ａk(n-1)－ａn

ただし，k(1)~k(n-1)は1~n-1のいずれかであって，

　　Ｌr＞０，k(1)<k(2)<･･･<k(n-r)，k(n-r+1)<･･･<k(n-1)

を満たすものと定めます．

　２次元ではａ1≦ａ2ですからＬ1は存在せず，３次元の場合，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2－ａ3

４次元の場合，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2＋ａ3－ａ4

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3－ａ1－ａ4

５次元の場合，Ｌ2型は４つあり，

　　Ｌ1＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4－ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ2＋ａ3－ａ4－ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ2＋ａ4－ａ3－ａ5

　　Ｌ2＝ａ1＋ａ3＋ａ4－ａ2－ａ5

　　Ｌ2＝ａ2＋ａ3＋ａ4－ａ1－ａ5

　　Ｌ3＝ａ3＋ａ4－ａ1－ａ2－ａ5

のようになります．以下，一般のｎについて，Ｌrがいくつあるかを数え上げると丹野の定理が証明されます．

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［４］三角関数の積分

　ｎ＝３の場合，ボールの定理

　　Ｖ3（ａ）＝2/πabc∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx

　　Ｖ3（ａ）＝1/c-1/4abc{(a+b-c)^2}_

を組み合わせることによって，ａ，ｂ，ｃを正の定数０＜ａ≦ｂ≦ｃとし，

(1)ａ＋ｂ≦ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab

(2)ａ＋ｂ＞ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab-1/4(a+b-c)^2

が成り立つことが証明されます．

　また，とくに(2)において，ａ＝ｂ＝ｃならば，