正多角形は無限に多く存在しますが，それでは，「互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？」　この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．

　

　正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

　

　２次元の平面の中に正多角形は無限に多くあるのに反して，３次元の空間には無限に多くの正多面体は存在しません．平面充填形は，面数が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますが，平面充填形の場合と同様にして，正多面体の各面を正ｐ角形，各頂点にｑ面が会するとすると，頂点の周囲は４直角未満ですから，不等式

　　２ｑ（１−２／ｐ）＜４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＞１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＜４

が正多角形となる必要条件です．

　

　このような整数の組は（ｐ，ｑ）＝（３，３），（３，４），（３，５），（４，３），（５，３）の５通りで，それぞれ，正４面体，正８面体，正２０面体，正６面体，正１２面体に対応します．すなわち，正多面体は正４・６・８・１２・２０面体の５種類あって５種類しかないことはプラトンの時代にはすでに見つけられていて，それらがプラトンの自然哲学で重要な役割を演ずるところから，正多面体はプラトンの立体（Platonic solod）とも呼ばれています．そこで，・・・

　

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（問）３種類の平面充填形のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白の市松模様に塗ることができるのはどれか？

　

（ヒント）これが可能なためには，１つの頂点で偶数の面が交わらなければならない．すなわち，ｑは偶数．

　

（問）プラトン立体のうち，どの隣接する２面も同じ色でないように，黒と白で塗ることができるのはどれか？

　

（答）正八面体

　

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【１】市松モザイク模様

　

　以上は，平面（空間）を合同な多角形で埋めることを考えたものですが，次に，三角形Ｐ（黒塗り）とそれを裏返した三角形Ｑ（白塗り）の２つを交互に並べて，平面全体をタイル張りすることを考えます．たいていの場合は途中でタイル同士が重なってしまいますが，うまくいくと市松模様のタイル張りができあがります．

　

（問）Ｐがどのような形のとき，このようなタイル張り（平面の市松模様三角形タイル張り）が可能であろうか？

　

（答）これが可能なためには，１つの頂点で偶数個の３角形が交わらなければならないので，これを２ａとおく．また，その頂点の角度をαとおくと，頂点を一回りしたので，２ａα＝２π．ゆえに，

　　α＝π／ａ　　　ただし，ａは２以上の自然数．

　まったく，同様に残り２つの内角に対しても

　　β＝π／ｂ，γ＝π／ｃ

　また，α＋β＋γ＝πより

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＝１

　

　この等式を満たす（ａ，ｂ，ｃ）の組は非常に少ない．便宜上，ａ≧ｂ≧ｃとすると

　　（３，３，３）　→　正三角形

　　（４，４，２）　→　直角二等辺三角形

　　（６，３，２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

の３種類が得られる．

　

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　以上の解は平面を鏡映三角形で埋めることをユークリッド面（放物的）で考えたものですが，リーマン面（楕円的），ロバチェフスキー面（双曲的）を問題にするならば，解は非常に異なるものになります．

　　α＋β＋γ＞π，＝π，＜π

　すなわち

　　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１，＝１，＜１

に応じて楕円幾何学，ユークリッド幾何学，双曲幾何学の三角形が得られます．

　

　１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＞１を満たす正の整数の組みたす（ａ，ｂ，ｃ）は高々有限個で，（ｎ，２，２）は正２面体群，（３，３，２）は正４面体群，（４，３，２）が正８（６）面体群，（５，３，２）は正２０（１２）面体群に対応しています．一方，１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ＜１の場合は（ｎ≧７，３，２），（ｎ≧５，４，２），（ｎ≧４，３，３），（ｎ≧３，４，３）など無限個あり，双曲幾何学における市松模様三角形タイル張りの可能性は無限にあることになります．→【補】

　

　すなわち，楕円的平面では基本領域は有限個しかなく，有限個の基本領域をならべることによって全平面を埋めつくすことができます．一方，双曲的平面の場合には，無限に多くの種類の基本領域があり，全平面を隙間なく埋めるには無限個必要となります．ユークリッド平面はその中間で，基本領域は有限種類しかないが，全平面を埋めつくすには無限個必要であるというわけです．

　

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【２】モザイク模様とルート系

　

（問）１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく，平面を埋めつくすことができるか？

　

（答）この問題も平面を鏡映三角形で埋めるというものですが，市松模様という条件がなくなっているので，１つの頂点に会する三角形は偶数に限る必要はありません．

　

　　α＝２π／ｐ　　　ただし，ｐは３以上の自然数．

　まったく，同様に残り２つの内角に対しても

　　β＝２π／ｑ，γ＝２π／ｒ

　また，α＋β＋γ＝πより

　　１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ＝１／２

が成り立ちます．

　

　ここで，３≦ｐ≦ｑ≦ｒと仮定すると

　　１／２＝１／ｐ＋１／ｑ＋１／ｒ≦３／ｐ

より，３≦ｐ≦６

　

　さらに，ｐが奇数のとき，頂点Ａからでる２辺の長さは等しくならなければなりません．そうしないと，折り返しでうまく重ならないからです．したがって，

　

(i)ｐ＝３のとき，ｑ＝ｒなので，

　　ｑ（ｑ−１２）＝０

これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（３，１２，１２）

　

(ii)ｐ＝４のとき，（ｑ−４）（ｒ−４）＝１６

これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０），（４，６，１２），（４，８，８）ですが，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（４，５，２０）は必要条件を満たすものの，十分条件を満たさない，すなわち，１点のまわりだけは完全に埋められても平面のタイル張りになりません．凸な多角形では七角以上になるとどんな型のものも平面充填はうまくいかないのです．

　

(iii)ｐ＝５のとき，ｑ＝ｒより，

　　ｑ（３ｑ−２０）＝０

これを満たす３以上の整数はありません．

　

(iv)ｐ＝６のとき，（ｑ−３）（ｒ−３）＝９

これより，（ｐ，ｑ，ｒ）＝（６，６，６）

　

　結局，求めるタイル張りは

　　（６，６，６）　→　正三角形

　　（４，８，８）　→　直角二等辺三角形

　　（４，６，１２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

　　（３，１２，１２）→　３０°，３０°，１２０°の三角形

の４通りあることになり，実際に十分条件を満たします．

　

　３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形は，正三角形格子（３，６）の各面を３個の合同な三角形に分解することによってできるモザイク模様です．「麻の葉」文様と呼ばれるくり返し文様なのですが，日本では古くから装飾工芸品や寄木細工のデザインなどとして用いられていますから，ご存じの方も多いと思います．

　

　３０°，６０°，９０°のモザイクは，３０°，３０°，１２０°の三角形からなるモザイクをさらに２個の直角三角形に分解してできる模様，直角二等辺三角形モザイクは正方格子（４，４）を４分割したもの，正三角形は正三角形格子（３，６）そのものです．

　

　ニュートン数を，一般の図形Ｓに接することができるＳと合同な図形の最大数と定義して，ニュートン数を求めてみると，

　

　　　平面図形　　　　　　　　　　ニュートン数

　　正三角形　　　　　　　　　　　　　　１２

　　直角二等辺三角形　　　　　　　　　　１４

　　直角三角形（４，６，１２）　　　　　１６

　　二等辺三角形（３，１２，１２）　　　２１

　　正方形　　　　　　　　　　　　　　　　８

　　正ｎ角形（≧５）　　　　　　　　　　　６

　　ルーローの三角形　　　　　　　　　　　７

　　定幅図形　　　　　　　　　　　　　　≦７

　　平面充填可能な凸板　　　　　　　　≦２１

　

　平面充填可能な凸板のニュートン数は高々２１となることが示されていますから，３０°，３０°，１２０°の角をもつ三角形による敷き詰め「麻の葉」は最大値に達していることがわかります．

　

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　ところで，１つの１０円玉を机の上において，それと触れ合うように，かつ，お互いに重ならないようにして，６個の１０円玉を置くことができます．一般に，ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τn は接吻数（kissing number）あるいは接触数（contact number）と呼ばれていて，最密充填構造と深い関連があります．

　

　球の最大接触数τ3については，１６９４年にニュートンとグレゴリーの間で議論され，ニュートンは１２を，グレゴリーは１３を主張したといわれています．結局，ニュートンは１２個が最大であるという証明ができず，グレゴリーも１３個並べたわけではないので，ニュートンの１３球問題と呼ばれるこの論争は引き和けに終わりました．

　

　１８７４年，ホッペが１２個が最大であることという証明を試みましたが，不備があり，ようやく完全な証明がなされたのは１９５３年，ファン・デル・ヴェルデンとシュッテによってです．つまり，３次元空間内で１つの球には同時に１２個の球しか接することができません．３次元のときは１２個という解が得られるまで非常に長い年月がかかったことになります．

　

　ｎ次元ユークリッド空間において，１つの単位球に同時に接触することのできる単位球の最大個数τnは，

　

　　ｎ　　　　　τn　　　　　　　ｎ　　　　　τn　　　　　

　　1 　　　　　 2　　　　　 　　13　　　 1130〜2233　　　

　　2　　　　　　6　　　　　 　　14　　　 1582〜3492　　　

　　3　　　　　 12　　　　　 　　15　　　 2564〜5431　　　

　　4　　　　 24〜25　　　　 　　16　　　 4320〜8313　　　

　　5　　　　 40〜46　　　　 　　17　　　 5346〜12215　　

　　6　　　　 72〜82　　　　 　　18　　　 7398〜17877　　

　　7　　　　126〜140　　　　　　19　　　10668〜25901　　

　　8　　　　　 240　　　　　　　20　　　17400〜37974　　

　　9　　　　306〜380　　　　　　21　　　27720〜56852　　

　　10　　　 500〜595　　　　　　22　　　49896〜86537　　

　　11　　　 582〜915　　　　　　23　　　93150〜128096　　

　　12　　　 840〜1416　　　　　 24　　　　 196560　　　　

　

であることがが知られています．τnの正確な値を決定する問題は大変難しく，４次元以上の高次元については，高度に対称的な格子状配置になっている８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決であり，現在，正確な値が知られているのは，τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２，τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０の５つだけなのです．

　

　専門的になりますが，τ8の２４０個の点はＥ8型の単純リー代数の２４０個のルート格子で実現されます．また，τ24の１９６５６０個の点はリーチ格子の原点から一番近い点の集合として得られることが知られています．

　

　以下，ルート系について説明しますが，面心立方格子や対心立方格子などの結晶格子には，空間中の格子点の位置を表すのに単純並進ベクトルと呼ばれる３つのベクトルがあり，その長さと角度によって，それぞれの格子の構造を特徴づける係数が得られます．もちろん，３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑の選び方は一義的には決まらず，いろいろな選び方があるのですが，４種類の鏡映三角形からなるモザイク模様に対しても同様に，R^2のベクトルの集合を考えることができます．

　

（６，６，６）　→　Φ1＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑｝

（４，８，８）　→　Φ2＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑｝

（４，６，１２）→　Φ3＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋２ｂ↑｝

（３，１２，１２）→Φ4＝｛ａ↑，ｂ↑，ａ↑＋ｂ↑，２ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋ｂ↑，３ａ↑＋２ｂ↑｝

　

　２つのベクトルａ↑，ｂ↑はルート系の基底，また，このようにして得られたベクトルの集合Φ1，・・・，Φ1を階数２のルート系と呼ぶのですが，平面を鏡映三角形で埋めつくす問題を一般の次元に拡張して，R^nの単体に置き換えて得られるベクトルの集合が一般の階数のルート系となります．

　

　R^8の標準基底をｅ1，・・・，ｅ8とすると，Ｅ8型ルート系は，

　　Φ＝｛ｅ1−ｅ2，・・・，ｅ7−ｅ8，ｅ0−ｅ1−ｅ2−ｅ3｝

のように求まります．ルート系の分類は，それ自体大変面白いものなのだそうですが，既約ルート系の同型類には，ＡからＧまでのアルファベットに，添字として階数をつけた名前が付いていて，Ｅ8型ルート系などと呼ぶ習慣になっています．

　

　ルートは鏡映を与えるベクトルとして理解することができるのですが，８次元ユークリッド空間において，８次元単体（４面体の拡張）を鏡映したものからなるモザイク模様に対してベクトルの集合を考えることによって，Ｅ8型ルート系が得られるというわけです．

　

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【補】群と正多面体群

　

　まず，群の話から始めよう．正３角形や正方形，正６角形が対称性をもつことは誰にでもすぐわかるだろうし，幼児のような素朴で純粋な心にとっては，図形の美しさと対称性はしばしば一致するものであろう．

　

　正３角形の中心の周りの１２０°の回転は，正３角形自身をもとの正３角形に重ねる．回転するところをみていなければ回転したことはわからない．また，１２０°の回転を３回繰り返すと正真正銘もとの位置に戻る．つまり，この回転運動は

　　１）恒等変換をもつ（単位元）

　　２）逆変換をもつ（逆元）

　　３）結合律が存在する

という３つの条件を満足していて，「群」という数学的構造をもっているのである．

　

　ここでは回転だけを考えたが，鏡映（反転）と併せて，正３角形は全部で６個の対称変換をもっている．これを正３角形の対称変換群は位数６の（正２面体）群であると表現する．

　

　さて，正多面体が５種類（正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正１２面体）しか存在しないことは，ギリシャ以来知られてきた．自然界の複雑さ・深遠さの一方で，古代の人々は，５種類しか存在しない正多面体に神の摂理を見ていたのである．のちに，方程式の根の置換群が正多面体群となるものを研究していたクラインは，「正２０面体と５次方程式」の中で正多面体群と方程式論が交差する美しい小宇宙を論じている．

　

　クラインは，平面内での正ｎ角形を，球の赤道に内接する正ｎ角形の各頂点と北極・南極を結んでできる多面体を上下から赤道面に押しつぶしてできる体積が０の正凸面体と考えた．クラインはこの群を正２面体群と命名したが，正ｎ角形の回転を考えると，正ｎ角形は位数ｎの巡回群をつくるから，正２面体群の位数はｎである．

　

　それでは，正６角形と正４面体では，どちらが対称性が大きいだろうか？　一概には答えられない問題であるが，そこで，ひとつの頂点を糸でつるした状態の正４面体を考えてみよう．糸を軸として１２０°，２４０°，３６０°の回転を施せば正４面体は自分自身に重なり，頂点は４個あるから全部で３×４＝１２個の回転が考えられる．これら１２個の回転のつくる群は正４面体群と呼ばれ，その位数は１２である．

　

　同様のことを，一番見なれている立方体ではなく，正８面体について考えてみよう．軸の周りには４個の回転が考えられ，頂点は６個あるから正８面体群の位数は２４である．立方体と正８面体は双対関係にあるから，正６面体群と正８面体群は一致する．さらに，正２０面体について考えてみる．軸の周りには５個の回転が考えられ，頂点は１２個あるから，正２０面体群の位数は６０である．正１２面体と正２０面体は双対であるから，正１２面体群と正２０面体群は同型である．

　

　　正４面体群←→正４面体群

　　正６面体群←→正８面体群

　　正１２面体群←→正２０面体群

　

　このように，ふつう正多面体群というときには，対称性全体を記述する群ではなく，回転のみからなる部分群を意味し，正４面体群は４次の交代群Ａ4と同型，正８面体群は４次対称群Ｓ4と同型，正２０面体群は５次交代群Ａ5と同型になる．

　

　ところが，２次元の直交変換Ｏ（２）は，原点中心の回転と，原点を通る直線に関する対称変換（鏡映）の２種類，３次元の直交変換Ｏ（３）は，回転，鏡映，回転鏡映の３種類がある．したがって，対称性全体を論ずるときには，回転のみならず，鏡映，回転鏡映も考えなければならない．鏡映，回転鏡映については，辺の中心，面の中心などを糸でつるして，読者自ら確かめることが望ましいが，実は，対称性全体の群の位数は，回転のみからなる群の２倍になることが知られている．すなわち，正２面体群（正ｎ角形）の位数は２ｎ，正４面体群の位数は２４，正６（８）面体群の位数は４８，正１２（２０）面体群の位数は１２０なのである．

　

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【補】２次元・３次元格子状配置のディリクレ領域

　

　はじめに点の分布（母点）があって，隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分線を次々に引いていくことによりできる多角形パターンは，ディリクレ領域またはボロノイ領域と呼ばれる．この概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張された（１９０８年）．研究分野によりいろいろな呼び名が使われていて，たとえば，地理学分野ではティーセン多角形と呼ばれているし，物性物理学分野では，ウィグナー・ザイツセルという呼び名が用いられている．細胞（セル）の図と非常に似ているためであろう．

　

　１次元格子は直線上に等間隔に並んだ点の集合であり，すべての１次元格子は点の間隔が違うだけで，本質的には同じものである．しかし，２次元格子には基本的な種類が２つある．ひとつは等間隔に並んだ横列の各点の真上に他の横列の点があるもので，もうひとつは横列の点を水平方向にずらしたものである．すなわち，２次元格子の形は平行四辺形（正方形，長方形，菱形を含む）になるが，その格子点の各点に対して垂直二等分線を引くと，すべて合同なディリクレ領域ができる．

　

　また，どのような２次元格子であっても，そのディリクレ領域は４角形あるいは６角形になる．無限に多くの２次元格子があるが，その対称性を考えると，本質的な配置は，正方形，長方形，菱形，二等辺三角形あるいは正三角形を２つ貼り合わせた平行四辺形状配置の５つしかない．それに対応するディリクレ領域も，正方形，長方形，切頂菱形（ソロバン珠型），長６角形（亀甲型），正６角形の５種類に限られることになる．

　

　ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できる．２次元格子は５種類だったが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類ある．そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかない．

　

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致している．平行多面体は結晶構造と深く関係していて，それぞれ，単純立方格子，六方格子，面心立方格子，底心格子（直方体の８個の頂点と上面・下面の面の中心に原子が配置されている構造），体心立方格子に対応するものであろう．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以である．

　

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【補】結晶の対称性の群

　

　さらに，平行移動だけでなく，点中心の回転や直線に関する鏡映も考えてみよう．平面上での等長変換は，平行移動，回転，鏡映，すべり鏡映，恒等変換の５種類あり，また，２次元結晶の回転角は，６０°・９０°・１２０°・１８０°・２４０°・２７０°・３００°しかないことを考察することにより，２次元格子で異なる対称性をもつものは１７種類存在することがわかる．たとえば，正三角格子と正方格子の対称群は，２面体群Ｄ12とＤ8で，それぞれ１２個と８個の元からなる．この１７種類の対称性は，２次元結晶群としてとらえることができるが，くり返し文様の群の問題は，ロシアのフェドロフとドイツのシェーンフリースによって，まったく別々に解かれた．

　

　また，空間での等長変換は，平行移動，回転，並進回転，鏡映，すべり鏡映，回転鏡映，恒等変換の７種類であるから，３次元結晶群は２１９種類存在し，その多くが結晶構造として自然界にも存在している．単純立方格子，対心立方格子，面心立方格子は８面体の対称性をもち，この群は正８面体群である．

　

　なお，結晶をテーマとする物理の本には，たいてい３次元結晶群の数は２３０種類存在すると書かれてあるが，変換が空間の向きを保たないものは異なるものと数えているからである（フェドロフ）．

　

　これらの事実の証明は非常に困難であり，これ以上追求しないことにするが，とくに３次元の格子状配置は，１９世紀の初めから，結晶内の原子の配列を記述するのに使われてきたものであり，対称性の群の分類についての仕事の大半は，ブラーベ，フェドロフ，シェーンフリースなど１９世紀の結晶学者によってなされたこと，４次元のブラーベ格子は６４種類（７４種類：１０組は対掌体の関係にある）あり，４次元のフェドロフ結晶群は４７８３種類（４８９５種類）存在することを付記しておく．

　

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