コラム「ロボットアームと６次元楕円体」ではｎ次元空間における楕円体を扱った．そこではマニピュレータの操作性を楕円体で表現したが，この楕円体ではマニピュレータの能力すべてを表現できているわけではない．

　

　どういうことかというと，この楕円体は関節角速度空間の原点を中心とした半径１の球体のヤコビ行列による速度空間への像であり，この球体がアームの出しうる角速度のすべてではないのであって，実際に出しうる速度空間を考えた場合，可操作性楕円体に外接する多面体になるのである（秋田大学・工学資源学部の佐々木誠先生の談による）．

　

　そこで，このシリーズでは３回に分けて，ｎ次元楕円体に外接するｎ次元直方体を扱うことにした．本題に入る前に，超球と超立方体との相対的関係を理解しておこう．

　

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【１】ｎ次元超立方体

　

　ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体[-1/2,1/2]^nをｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から

　　√（１^2＋１^2＋・・・＋１^2）＝√ｎ

となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さはどんどん大きくなり，身長１７０ｃｍの人間はおろか，ついには地球でさえ含むことができるようになります．

　

　辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．

　

　これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２^n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．

　

　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．

　

　次元とともにはみ出る部分が増えているのですが，球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものです．この逆説は，人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないという例として，しばしば引き合いに出されます．

　

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【２】ｎ次元超球

　

　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　

　したがって，ｎ＝２，３，４では単位立方体（対角線の長さ√ｎ）は単位球体の中に含まれますが，ｎ≧５でははみ出る部分があり，次元とともにはみ出る部分が増えていきます．単位球体の直径は次元によらず２なのです．

　

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π^2／２，８π^2／１５，π^3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．

　

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．

　

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，１次元から１４次元までの具体的数字は次の通りです．

　

　　　　　ｎ　　　 Ｖn　　　　　　ｎ　　　 Ｖn

　　　　　１　　　2　　　　　　　 ８　　　4.06

　　　　　２　　　3.14　　　　　　９　　　3.30

　　　　　３　　　4.19　　　　　　10　　　2.55

　　　　　４　　　4.93　　　　　　11　　　1.88

　　　　　５　　　5.263　　　　　 12　　　1.36

　　　　　６　　　5.167　　　　　 13　　　0.91

　　　　　７　　　4.72　　　　　　14　　　0.60

　

　このように，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π^2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は次元とともにどんどん減少します．次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･となります．幾何学では５，６次元を境にして本質的に様子が変わっていることが少なくないのですが，このことはその原因の一端をほのめかしていると考えられます．

　

　また，このことから，ｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）において，単位超球が占める比率：

　　Ｖn／２^n

は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．

　

　　　　　ｎ　　　Ｖn／２^n　　　　　ｎ　　　Ｖn／２^n

　　　　　１　　　1　　　　　　　　　６　　　0.08　　　

　　　　　２　　　0.79　　　　　　　 ７　　　0.04　　　

　　　　　３　　　0.52　　　　　　　 ８　　　0.02　　　

　　　　　４　　　0.31　　　　　　　 ９　　　0.006　　　

　　　　　５　　　0.16　　　　　　　 10　　　0.0025　　

　

　ここで重要なのは，単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなる点です．したがって，高次元において超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．

　

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【３】ｎ次元の球と立方体の断面の体積

　

　ｎ次元単位立方体を中心を通るｎ次元超平面で切ったとき，その切り口の体積（断面積）Ｖは，

　　１≦Ｖ≦√２

であることが，ボールによって証明されています（1986年）．

　

　一方，半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は

　　Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

となります．

　

　ここで，

　　Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

とおくと，ｎ→∞のとき，

　　Ａn　→　√ｅ＝１．６４８７・・・

に収束することが確かめられます．→コラム「高次元の球と立方体の断面積」参照

　

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【４】ｎ次元の球と立方体の投影面積比

　

　次に，ｎ次元単位超球に外接するｎ次元超立方体[-1,1]^n（体積2^n）を２次元平面上に直投影した際の面積比について考えてみましょう．

　

　半径１の円に外接する１辺の長さが２の正方形を２次元に投影すると，楕円に外接する平行四辺形となります．したがって，投影方向に関わらず，その面積比はπ：４です．

　

　また，半径１の球に外接する１辺の長さが２の立方体を平面に投影すると，楕円体に外接する平行六面体となりますが，面積比が最大となるのは，２次元同様，影の形が円に外接する正方形となるときで，その面積比は

　　π：４

です．

　

　一方，面積比が最小となるのは１本の対角線が投影平面に垂直，もう１本の対角線が投影平面と平行になるときで，そのとき，立方体は対角線の長さが２√３の正６角形の形に投影され，この正６角形は半径√３の円に内接しますから，その面積は

　　３^2ｓｉｎ（π／３）＝９／２

球はその等方性により投影面積はπですから，両者の比は

　　π：９／２

になります．

　

　２次元・３次元での問題は，４次元の場合あるいは考察をもっと高次元化していくこともできます．ｎ次元立方体を２次元平面に直投影すると，半径√ｎの円に内接する正２ｎ角形となりますから，その最小投影面積比は

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）

で与えられます．

　

　ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（π／ｎ）→π／ｎ

ですから，投影面積比の最小値は

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）≒π：ｎπ＝１：ｎ

となることもわかります．

　

ｎ　　　π／ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ） 　ｎ　　　π／ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）

２　　　0.785　　　　　　　　　　　９　　　0.113

３　　　0.403　　　　　　　　　　　10　　　0.102

４　　　0.278　　　　　　　　　　　11　　　0.092

５　　　0.214　　　　　　　　　　　12　　　0.084

６　　　0.175　　　　　　　　　　　13　　　0.078

７　　　0.148　　　　　　　　　　　14　　　0.072

８　　　0.128　　　　　　　　　　　15　　　0.067

　

　結局，求める面積比は

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）　〜　π：４

で与えられますが，この上限と下限には大きな差があります．しかし，次元が高くなるにつれて，ある対角線が平面に垂直，別の対角線が平面と平行に投影される確率は大きくなりますから，投影面積比はπ：４よりも，

　　π：ｎ^2ｓｉｎ（π／ｎ）　〜　１：ｎ

に近づくことが直観されるところです．積分に自信のある方は，厳密な平均値を求められてみては如何でしょうか．

　

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【５】余白

　

　｜ω｜≦１をｎ次元球の表現とすると，それに外接するｎ次元立方体は｜ωi｜≦１で表されます．

　

　次元が高くなるほど，ｎ次元立方体に占めるｎ次元球の割合が減少してくることは本コラムでも再三再四取り上げてきているので，数学的に目新しい話はありません．６次元球の例でいえば，６次元立方体：６次元球=2^6:π^3/6と大きな差があります．それを２次元に投影した場合は約６：１となって差は小さくなりますが，それでも両者の差は埋められません．

　

　ところで，コラム「ロボットアームと６次元楕円体」で紹介した秋田大学・工学資源学部の佐々木誠先生の最近のご研究によれば，楕円の示す操作性が人の運動特性をほぼ表現できているという統計学的適合性が得られたとのことでした．

　

　生体データとの整合性に関するこの結果は，筋・骨格系も含めて人の関節が球体に近い構造で近似できるためと推察されますが，佐々木先生の研究は確率楕円を生体データに適合させることの意味づけを行ったもので，統計学的観点からは，楕円もそれなりの利点をもっているというわけです．

　

　最大操作力方向はともかくとしても，速度空間を論ずる上で，ｎ次元立方体の方が厳密であることは確かであって，その点がロボット工学の観点からみた多面体の強みになっています．一方，生体データとの整合性などを重視するならば，ｎ次元球（楕円体）にも捨てがたいものがあるのです．

　

　まったくの素人・門外漢でありながら，多面体のロボット工学の観点からみた強み，楕円体の生体工学からみた強みを比較してきましたが，以上のことさえ認識しておけば，工学応用上，両者に大差はないものと思われます．最も強調したい点は球と立方体の優劣ではなく，研究対象に合わせて適材適所，両者を使い分けていけばよいということなのです．

　

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