６次元楕円を２次元平面に直接正射影すると，楕円が描かれます．また，いったん３次元空間へ正射影した３次元楕円を間接的に２次元平面に投影した楕円は，最初から２次元平面に正射影した楕円と一致します．

　

　もちろん一致しないとおかしなことになるわけですが，このことは

　　６次元→ｎ次元，３次元→ｍ次元

と一般化しても成り立ちます．

　

　この当たり前のことがとても不思議に感じられたので，どうして一致するのかを考えてみることにしました．ところが，この言明を証明するためには何を主張すべきなのか・・・，それがよく把握できないのです．

　

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【１】失敗例

　

　楕円の大きさは固有値で決まりますから，まず，固有値に着目するのが自然な成り行きでしょう．

　

　これまでの表記法をそのまま用いることにすると，ｎ次元楕円は

　　ｘ’Ｈｘ＝１

このとき，行列式は全固有値の積と一致しますから，

　　｜Ｈ｜＝λ1λ2・・・λn

となります．

　

　一方，

　　Ｈ＝［Ａ，Ｂ］　　　Ｈ~ ＝［Ｏ，Ｐ］

　　　　［Ｃ，Ｄ］　　　　　　［Ｑ，Ｒ］

と分割行列にすると，ｍ次元空間への正射影は，

　　Ｘ’［Ａ−ＢＤ~Ｃ］Ｘ＝１

で表すことができます．

　

　なお，（その１）で述べたように

　　Ｏ＝［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~

ですから，

　　Ｘ’Ｏ~Ｘ＝１

としても同値です．その場合，逆行列の固有値はもとの行列の固有値の逆数となりますから，

　　｜Ｈ~｜＝１／｜Ｈ｜＝１／λ1λ2・・・λn

ですが，Ｏ~はＡの逆行列ではないので

　　｜Ｏ~｜≠１／｜Ａ｜

です．

　

　行列式＝固有値の積より，同等にして

　　｜Ａ−ＢＤ~Ｃ｜＝δ1δ2・・・δm

となりますが，行列式について

　　｜Ｈ｜＝｜Ｄ｜｜Ａ−ＢＤ~Ｃ｜

が成り立ちますから，

　　｜Ｄ｜＝（λ1λ2・・・λn）／（δ1δ2・・・δm）

が得られます．

　

　しかし，これがわかったところで，そのあとはにっちもさっちも行きませんでした．

　

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【２】成功例（？）

　

　ユニタリ変換

　　ｘ＝ＵＸ　　　（Ｕ’＝Ｕ~）

によって，行列Ｈが

　　Ｕ~ＨＵ＝Λ

と対角化されるとしましょう．Λは対角行列

　　Λ＝ｄｉａｇ（λ1，・・・，λn）

を表しています．

　

　これによって，ｎ次元楕円：ｘ’Ｈｘ＝１は

　　ｘ’Ｈｘ＝Ｘ’Ｕ’ＨＵＸ＝Ｘ’Ｕ~ＨＵＸ＝Ｘ’ΛＸ＝１

と標準形に変換されます．

　

　ここで，標準形と助変数表示式をまとめておきますが，２次元楕円

　　λ1Ｘ1^2＋λ2Ｘ2^2＝１

では

　　Ｘ1＝ａｃｏｓθ　　（ａ＝１／√λ1）

　　Ｘ2＝ｂｓｉｎθ　　（ｂ＝１／√λ2）

であったのに対し，３次元楕円

　　δ1χ1^2＋δ2χ2^2＋δ3χ3^2＝１

では

　　χ1＝ａｃｏｓθ　　　　　　（ａ＝１／√δ1）

　　χ2＝ｂｓｉｎθｃｏｓφ　　（ｂ＝１／√δ2）

　　χ3＝ｃｓｉｎθｓｉｎφ　　（ｃ＝１／√δ3）

とパラメトライズすることができます．

　

　一般に，ｎ次元ユークリッド空間の点(x1,x2,x3,･･･,xn)は，

　　ｒ>0,0≦θ1,θ2,･･･,θn-2≦π,0≦θn-1≦2π

を満たすｒ,θ1,θ2,･･･,θn-1によって，

　　x1=rcosθ1

　　x2=rsinθ1cosθ2

　　x3=rsinθ1sinθ2cosθ3

　　････････････････････

　　xn-1=rsinθ1sinθ2･･･sinθn-2cosθn-1

　　xn=rsinθ1sinθ2･･･sinθn-2sinθn-1

と表すことができます（ただし，ｎ＝２のときは，周知のとおり，ｘ1＝ｒｃｏｓθ1，ｘ2＝ｒｓｉｎθ1とする）．

　

　したがって，ｍ次元空間を経由した場合の対角行列を

　　Δ＝ｄｉａｇ（δ1，・・・，δm），

ユニタリ変換行列をＶとして，ｍ次元楕円：χ’Δχ＝１と２次元楕円：Ｘ’ΛＸ＝１が一致することがいえればよいことなりますが，

　　χ＝Ｖ~ｘ＝Ｖ’ｘ

を代入すると

　　χ’Δχ＝ｘ’ＶΔＶ’ｘ

ですから，このことから，

　　ＶΔＶ’＝ＵΛＵ’（＝Ｈ）

となることを示せば当該の問題は証明されたことになります．

　

　　Ｕ’ＨＵ＝Λ

の左からＵを，右からＵ’を掛ければ，直交行列の性質により

　　ＵΛＵ’＝Ｈ

となります．ＶΔＶ’＝Ｈについても同様です．

　

　結局，

　　Ｕ’ＨＵ＝Λ　←→　ＵΛＵ’＝Ｈ

の反転であっさりと証明されたことになります．キツネにでもつままれたような不思議な気分になったのですが，これで証明は完了（？）と思われます．

　

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【３】まとめ

　

　ところで，６次元楕円の２次元平面での切り口と３次元空間での切り口（３次元楕円）を２次元平面に投影したものでは，楕円の大きさが一致しません．

　

　２次元切り口は３次元切り口の２次元平面での切り口であって，３次元切り口の２次元平面への正射影ではない・・・歯切れの悪い説明で申し訳ありませんが，正射影の正射影は正射影ですが，切り口の切り口は切り口であって正射影ではないために，楕円の大きさが一致しないのです．

　

　３次元に限らず，一般にｍ次元空間での切り口：

　　Ｘ’ＡＸ＝１

（ｍ次元楕円）を平面上に表示するときは，ｍ次元楕円の２次元平面での切り口ではなくて，ｍ次元切り口の２次元平面上への正射影を表示しなければなりません．

　

　このことは，本文に掲げた説明において，ＨがＡに変わるだけのことですから，すぐにおわかり頂けるでしょうが，３次元をｍ次元と一般化しても，ｍ次元切り口を２次元に正射影した楕円はすべて一致することになるというわけです．

　

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［補］行列式は全固有値の積と一致します．

　　｜Ｈ｜＝λ1λ2・・・λn（＝平行多面体の体積）

このことは，固有多項式の根と係数の関係より簡単に証明されます．

　

　同様に，固有多項式の根と係数の関係によって，トレース（対角線の項の和）＝固有値の総和，すなわち，

　　ｈ11＋ｈ22＋・・・＋ｈnn＝λ1＋・・・＋λn

が成り立ちます．トレースは全固有値の和であり，大切な不変式になっています．

　

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