コラム（その１）では，ｎ次元楕円をｍ次元空間に正射影したり，ｎ次元楕円のｍ次元空間での切り口を求めてみました．ところで，原点を中心とするｎ次元楕円

　　ｘ’Ｈｘ＝１

と原点を通る任意のｎ次元超平面

　　ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａnｘn＝０

の交わりは，高々（ｎ−１）次元楕円になりますから，正射影も切り口も，所与のｎ次元楕円と特別なｎ次元超平面との交わりをｍ次元空間に投影したものと考えることができます．

　

　今回のテーマは，ｎ次元楕円のｍ次元空間への投影をもっと一般化することです．それに関連して，ムーア・ペンローズ型一般逆行列についての解説も加えたいと思います．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【１】超平面と法線ベクトル

　

　ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

また，実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０で，その場合，原点を中心とするｎ次元楕円ｘ’Ｈｘ＝１と超平面ａｘ’＝０は必ず交わります．

　

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．

　

　ここで，

　　Ｘ1’＝［ｘ1，ｘ2，・・・，ｘm］

　　Ｘ2’＝［ｘm+1，ｘm+2，・・・，ｘn］

　　α1＝［ａ1，ａ2，・・・，ａm］

　　α2＝［ａm+1，ａm+2，・・・，ａn］

とおくことにします．こうすれば，

　　Ｘ’＝［ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn］＝［Ｘ1’，Ｘ2’］

　　α＝［ａ1，ａ2，・・・，ａn］＝［α1，α2］

より，原点を通る超平面の方程式は

　　α1Ｘ1＋α2Ｘ2＝０

と書くことができます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

　まず最初に，自明な問題から検討してみることにしましょう．ｎ次元楕円のｍ次元空間における切り口は，

　　Ｘ2＝０

で表されます．右辺の０は数字の０ではなく，ゼロベクトル（全成分が０のベクトル）の意味です．したがって，この場合の超平面は

　　α1Ｘ1＝０

で表されます．

　

　次に，ｎ次元楕円の切り口がｍ次元空間への正射影の輪郭となる超平面を定めてみることにします．（その１）同様，行列Ｈを４つの部分行列Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに分解すると，

　　Ｈ＝［Ａ，Ｂ］

　　　　［Ｃ，Ｄ］

また，交線上では

　　∂ｆ／∂ｘi＝０　　（ｉ＝ｍ＋１〜ｎ）

が成り立ちますから，これよりＸ1，Ｘ2の値域は

　　ＣＸ1＋ＤＸ2＝０

を満たす必要があります．

　

　したがって，超平面

　　α1Ｘ1＋α2Ｘ2＝０　（スカラーの０）

が

　　ＣＸ1＋ＤＸ2＝０　　（ゼロベクトル）

を満たすように，α1，α2を決めてやればよいことになります．

　

　とはいっても，

　　Ｄ~ＣＸ1＋Ｘ2＝０　　（ゼロベクトル）

等は超平面になりません．そこで，Ｘ2＝−Ｄ~ＣＸ1を超平面：α1Ｘ1＋α2Ｘ2＝０に代入すると，超平面は

　　（α1−α2Ｄ~Ｃ）Ｘ1＝０

となることがわかります．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【２】一般逆行列

　

　逆行列をもつ行列を正則行列といいます．正方行列Ａが正則となるためには｜Ａ｜≠０でなければなりません．逆行列は，数ａでいえば逆数ａ^(-1)にあたり，逆数をもつためにはａ≠０なる条件が必要というわけです．

　

　また，１行または１列からなる行列がベクトルであり，１行１列の最も簡単な行列がスカラーです．ベクトルやスカラーを含んで，正方行列ではあるが正則でない場合，または，正方行列でない場合にも逆行列の考えを一般化したものが一般逆行列です．

　

　ここでは，一般逆行列をＡ~と表すことにしますが，一般逆行列は，

　　ＡＡ~Ａ＝Ａ　　　（~）は一般逆行列

なる関係を満たす行列と定義することもできます．Ａがｍ1×ｍ2行列なら，Ａ~はｍ2×ｍ1行列となります．

　

　一般逆行列を用いると理論全体がより高い視野から展望できるようになりますし，また，たとえば非正方行列Ｃの一般逆行列はＣ~となりますから，あたかも逆数のように取り扱えるので，実用面でも非常に便利になります．

　

　そこで，超平面：α1Ｘ1＋α2Ｘ2＝０において，行ベクトルα2の一般逆行列をα2~として得られる

　　Ｘ2＝−α2~α1Ｘ1

を用いて，ｎ次元楕円ｘ’Ｈｘ＝１から変数ｘm+1〜ｘnを消去してみることにしましょう．

　

　　ＨＸ＝［Ａ，Ｂ］［Ｘ1］＝［ＡＸ1＋ＢＸ2］＝［（Ａ−Ｂα2~α1）Ｘ1］

　　　　　［Ｃ，Ｄ］［Ｘ2］　［ＣＸ1＋ＤＸ2］　［（Ｃ−Ｄα2~α1）Ｘ1］

　

　　Ｘ’＝［Ｘ1’，Ｘ2’］＝［Ｘ1’，−Ｘ1’（α2~α1）’］

　

　　Ｘ’ＨＸ＝［Ｘ1’，−Ｘ1’（α2~α1）’］［（Ａ−Ｂα2~α1）Ｘ1］

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［（Ｃ−Ｄα2~α1）Ｘ1］

　＝Ｘ1’［Ａ−Ｂα2~α1−（α2~α1）’Ｃ＋（α2~α1）’Ｄα2~α1］Ｘ1

　＝１

なるｍ次元楕円が得られることがわかります．

　

　Ｈは対称行列であって，

　　Ｃ＝Ｂ’

　（α2~α1）’Ｃ＝（α2~α1）’Ｂ’＝（Ｂα2~α1）’

となるのですが，

　　Ｘ1’［Ａ−Ｂα2~α1−（α2~α1）’Ｃ＋（α2~α1）’Ｄα2~α1］Ｘ1＝１

のままにしておきます．無理矢理整理するよりもこの方が対称性の高い形でしょう．

　

　α1Ｘ1＝０（Ｘ2＝０）の場合，これは明らかに切り口

　　ｘ’Ｈｘ＝［Ｘ1’，０ ］［Ａ，Ｂ］［Ｘ1］＝Ｘ1’ＡＸ1＝１

　　　　　　　　　　　　　　［Ｃ，Ｄ］［０ ］

の場合を含んでいますし，（α1−α2Ｄ~Ｃ）Ｘ1＝０（Ｘ2＝−Ｄ~ＣＸ1）の場合は，

　　Ｈｘ＝［Ａ，Ｂ］［Ｘ1］＝［ＡＸ1＋ＢＸ2］＝［ＡＸ1＋ＢＸ2］

　　　　　［Ｃ，Ｄ］［Ｘ2］　［ＣＸ1＋ＤＸ2］　［　　０　　　］

　

　　ｘ’Ｈｘ＝［Ｘ1’，Ｘ2’］［ＡＸ1＋ＢＸ2］

　　　　　　　　　　　　　　　［　　０　　　］

　＝Ｘ1’ＡＸ1＋Ｘ1’ＢＸ2

　＝Ｘ1’ＡＸ1−Ｘ1’ＢＤ~ＣＸ1＝１

より，ｎ次元楕円のｍ次元空間への正射影は，

　　ｘ’Ｈｘ＝Ｘ1’［Ａ−ＢＤ~Ｃ］Ｘ1＝１

で表されることになります．

　

　以上により，超平面

　　α1Ｘ1＋α2Ｘ2＝０

は，特別な場合として，Ｘ2＝０（切り口）やＣＸ1＋ＤＸ2＝０（正射影）を含んでいることがわかりました．

　

　その際，行ベクトルα1，α2は一意には定まりませんが，α2~α1＝０（ゼロ行列）ならば

　　Ａ−Ｂα2~α1−（α2~α1）’Ｃ＋（α2~α1）’Ｄα2~α1＝Ａ

α2~α1＝Ｄ~Ｃならば

　　Ａ−Ｂα2~α1−（α2~α1）’Ｃ＋（α2~α1）’Ｄα2~α1＝Ａ−ＢＤ~Ｃ

になるというわけです．

　

　なお，一般に行列の間に積の交換法則ＡＢ＝ＢＡは成り立たちませんし，

　　ＡＢ＝０→Ａ＝０またはＢ＝０

も成り立ちません．したがって，α2~α1＝０→α1＝０のつもりで計算すれば間違った答えを得ることになります．

　

　α1＝０→α2~α1＝０は成り立ちますから，α1＝０，すなわち，

　　ａ1＝０，ａ2＝０，・・・，ａm＝０

のときを考えると，このとき，切り口となる超平面は，投影先のｍ次元空間に直交します．しかし，ａm+1，ａm+2，・・・，ａnは任意の値をとることができますから，行ベクトルα1，α2は一意には定まらないのです．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【３】ムーア・ペンローズ型一般逆行列

　

　一般逆行列にはいくつかの型（反射型，ノルム最小型，最小２乗型）があります．たとえば，ノルム最小型の一般逆行列とは，

　　Ａ~＝Ａ’（ＡＡ’）^(-1)

で定義されるのですが，

　　α2~＝α2’（α2α2’）^(-1)

において，ここで考えているα2は行ベクトルですから，α2α2’はスカラーとなり，

　　α2α2’＝‖α2‖^2

したがって，

　　α2~α1＝α2’α1／‖α2‖^2

と表すことができます．

　

　ところが，条件

　　ＡＡ~Ａ＝Ａ　　　（~）は一般逆行列

だけでは，与えられた行列に対して，一般逆行列は普通一意には定められないのです．そこで，これらの型の４個の条件

　　ＡＡ~Ａ＝Ａ 　　　　　（一般逆行列）

　　Ａ~ＡＡ~＝Ａ~ 　　　　（反射型）

　　ＡＡ~＝（ＡＡ~）’　　（最小２乗型）

　　Ａ~Ａ＝（Ａ~Ａ）’　　（ノルム最小型）

をすべて満たす行列を考えることにします．

　

　そのような逆行列をムーア・ペンローズ型逆行列と呼ぶのですが，任意の行列Ａのムーア・ペンローズ型逆行列は

　　Ａ~＝Ａ’Ａ（Ａ’ＡＡ’Ａ）^(-1)Ａ’

あるいは

　　Ａ~＝Ａ’（ＡＡ’）^(-1)Ａ（Ａ’Ａ）^(-1)Ａ’

により一意に定まります．

　

　これらは同じムーア・ペンローズ型逆行列の異なった表現に他なりません．実際の計算に際してともに有用な式となるのですが，重要なことはＡ~はユニークにただ１個存在するということです．もちろん，ムーア・ペンローズ型逆行列Ａ~は，非特異行列に対して，通常の逆行列Ａ^(-1)に等しくなります．

　

　また，非正則行列

　　Ａ＝［１，１］

　　　　［１，１］

に誤差の入った行列

　　Ａ＝［１，１　　］≒［１，１］

　　　　［１，１＋ε］　［１，１］

の逆行列は，

　　Ａ^(-1)＝［１＋１／ε，−１／ε］

　　　　　　 ［−１／ε　，　１／ε］

ですが，ε→０にするとこれらの要素は発散し，特異行列になります．

　

　このとき，ムーア・ペンローズ型逆行列は，Ａ^(-1)ではなく，ε＝０において不連続に

　　Ａ~ ＝［１／４，１／４］＝１／４Ａ

　　　　　［１／４，１／４］

になります．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【４】プログラム

　

　以下に，ムーア・ペンローズ型逆行列を

　　Ａ~＝Ａ’Ａ（Ａ’ＡＡ’Ａ）^(-1)Ａ’

に従って計算するプログラムを掲げます（*exact）．

　

　この計算方法ではＡの要素ａijが大きくなると誤差が増すという欠点があり，計算誤差を考えると

　　Ａ~＝Ａ’（ＡＡ’）^(-1)Ａ（Ａ’Ａ）^(-1)Ａ’

のほうが有利です（*exact2）．

　

　また，ムーア・ペンローズ型逆行列は

　　Ａ~＝（Ａ’Ａ＋δＩ）^(-1)Ａ’

により，近似的に（簡単に）求めることができます．δをＡの要素ａijに対して相対的に小さくするほど精度は良くなります．この方法は，多くの有効数字を必要としない計算に便利です（*inexact）．

　

　なお，非正則行列

　　Ａ＝［１，１］

　　　　［１，１］

のムーア・ペンローズ型逆行列は，いずれを用いても

　　Ａ~ ＝［１／４，１／４］＝１／４Ａ

　　　　　［１／４，１／４］

と計算されました．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

5000 '

5010 ' *** Moore-Penrose inverse matrix ***

5020 '

5030 SCREEN 3,0:CONSOLE ,,0,1

5040 CLS 3:WIDTH 80,25:COLOR 6

5050 '

5060 RESTORE *D

5070 READ RN,CN

5080 '

5090 IF RN>CN THEN LARGE=RN ELSE LARGE=CN

5100 DIM XX1(LARGE,LARGE),YY1(LARGE,LARGE)

5110 DIM AZ(LARGE,LARGE),BZ(LARGE,LARGE)

5120 DIM H1(LARGE,LARGE),H2(LARGE,LARGE)

5130 DIM H3(LARGE,LARGE)

5140 '

5150 FOR I=1 TO RN

5160　 FOR J=1 TO CN

5170　　 READ XX1(I,J)

5180　 NEXT J

5190 NEXT I

5200 '

5210 GOSUB *INEXACT:GOSUB *PRINT.RTN

5220 GOSUB *EXACT　:GOSUB *PRINT.RTN

5230 GOSUB *EXACT2 :GOSUB *PRINT.RTN

5240 END

5250 '

5260 ' ** XT*X **

5270 '

5280 *INEXACT:

5290 FOR I=1 TO CN

5300　 FOR J=I TO CN

5310　　 S=0

5320　　 FOR K=1 TO RN

5330　　　 S=S+XX1(K,I)*XX1(K,J)

5340　　 NEXT K

5350　　 AZ(I,J)=S:AZ(J,I)=S

5360　 NEXT J

5370 NEXT I

5380 NZ=CN

5390 '

5400 EPSL=.00001

5410 CMAX=0

5420 FOR I=1 TO NZ

5430　 FOR J=1 TO NZ

5440　　 IF CMAX<ABS(AZ(I,J)) THEN CMAX=ABS(AZ(I,J))

5450　 NEXT J

5460 NEXT I

5470 EPS=CMAX*EPSL

5480 '

5490 FOR I= 1 TO NZ

5500　 AZ(I,I)=AZ(I,I)+EPS

5510 NEXT I

5520 '

5530 ' ** (XT*X)^(-1) **

5540 '

5550 NZ=CN:GOSUB *INVERSE

5560 '

5570 ' ** (XT*X)^(-1)*XT **

5580 '

5590 FOR I=1 TO CN

5600　 FOR J=1 TO RN

5610　　 S=0

5620　　 FOR K=1 TO CN

5630　　　 S=S+BZ(I,K)*XX1(J,K)

5640　　 NEXT K

5650　　 YY1(I,J)=S

5660　 NEXT J

5670 NEXT I

5680 RETURN

5690 '

5700 ' ** XT*X **

5710 '

5720 *EXACT:

5730 FOR I=1 TO CN

5740　 FOR J=I TO CN

5750　　 S=0

5760　　 FOR K=1 TO RN

5770　　　 S=S+XX1(K,I)*XX1(K,J)

5780　　 NEXT K

5790　　 H1(I,J)=S:H1(J,I)=S

5800　 NEXT J

5810 NEXT I

5820 '

5830 ' ** XT*X*XT **

5840 '

5850 FOR I=1 TO CN

5860　 FOR J=1 TO RN

5870　　 S=0

5880　　 FOR K=1 TO CN

5890　　　 S=S+H1(I,K)*XX1(J,K)

5900　　 NEXT K

5910　　 H2(I,J)=S

5920　 NEXT J

5930 NEXT I

5940 '

5950 ' ** XT*X*XT*X **

5960 '

5970 FOR I=1 TO CN

5980　 FOR J=1 TO CN

5990　　 S=0

6000　　 FOR K=1 TO RN

6010　　　 S=S+H2(I,K)*XX1(K,J)

6020　　 NEXT K

6030　　 AZ(I,J)=S

6040　 NEXT J

6050 NEXT I

6060 '

6070 ' ** (XT*X*XT*X)^(-1) **

6080 '

6090 NZ=CN:GOSUB *INVERSE

6100 '

6110 ' ** XT*X*(XT*X*XT*X)^(-1) **

6120 '

6130 FOR I=1 TO CN

6140　 FOR J=1 TO CN

6150　　 S=0

6160　　 FOR K=1 TO CN

6170　　　 S=S+H1(I,K)*BZ(K,J)

6180　　 NEXT K

6190　　 H3(I,J)=S

6200　 NEXT J

6210 NEXT I

6220 '

6230 ' ** XT*X*(XT*X*XT*X)^(-1)*XT **

6240 '

6250 FOR I=1 TO CN

6260　 FOR J=1 TO RN

6270　　 S=0

6280　　 FOR K=1 TO CN

6290　　　 S=S+H3(I,K)*XX1(J,K)

6300　　 NEXT K

6310　　 YY1(I,J)=S

6320　 NEXT J

6330 NEXT I

6340 RETURN

6350 '

6360 ' ** XT*X **

6370 '

6380 *EXACT2:

6390 FOR I=1 TO CN

6400　 FOR J=I TO CN

6410　　 S=0

6420　　 FOR K=1 TO RN

6430　　　 S=S+XX1(K,I)*XX1(K,J)

6440　　 NEXT K

6450　　 AZ(I,J)=S:AZ(J,I)=S

6460　 NEXT J

6470 NEXT I

6480 '

6490 ' ** (XT*X)^(-1) **

6500 '

6510 NZ=CN:GOSUB *INVERSE

6520 '

6530 ' ** X*(XT*X)^(-1) **

6540 '

6550 FOR I=1 TO RN

6560　 FOR J=1 TO CN

6570　　 S=0

6580　　 FOR K=1 TO CN

6590　　　 S=S+XX1(I,K)*BZ(K,J)

6600　　 NEXT K

6610　　 H1(I,J)=S

6620　 NEXT J

6630 NEXT I

6640 '

6650 ' ** X*XT **

6660 '

6670 FOR I=1 TO RN

6680　 FOR J=I TO RN

6690　　 S=0

6700　　 FOR K=1 TO CN

6710　　　 S=S+XX1(I,K)*XX1(J,K)

6720　　 NEXT K

6730　　 AZ(I,J)=S:AZ(J,I)=S

6740　 NEXT J

6750 NEXT I

6760 '

6770 ' ** (X*XT)^(-1) **

6780 '

6790 NZ=RN:GOSUB *INVERSE

6800 '

6810 ' ** XT*(X*XT)^(-1) **

6820 '

6830 FOR I=1 TO CN

6840　 FOR J=1 TO RN

6850　　 S=0

6860　　 FOR K=1 TO RN

6870　　　 S=S+XX1(K,I)*BZ(K,J)

6880　　 NEXT K

6890　　 H2(I,J)=S

6900　 NEXT J

6910 NEXT I

6920 '

6930 ' ** XT*(X*XT)^(-1)*X*(XT*X)^(-1) **

6940 '

6950 FOR I=1 TO CN

6960　 FOR J=1 TO CN

6970　　 S=0

6980　　 FOR K=1 TO RN

6990　　　 S=S+H2(I,K)*H1(K,J)

7000　　 NEXT K

7010　　 H3(I,J)=S

7020　 NEXT J

7030 NEXT I

7040 '

7050 ' ** XT*(X*XT)^(-1)*X*(XT*X)^(-1)*XT **

7060 '

7070 FOR I=1 TO CN

7080　 FOR J=1 TO RN

7090　　 S=0

7100　　 FOR K=1 TO CN

7110　　　 S=S+H3(I,K)*XX1(J,K)

7120　　 NEXT K

7130　　 YY1(I,J)=S

7140　 NEXT J

7150 NEXT I

7160 RETURN

7170 '

7180 *PRINT.RTN:

7190 FOR I=1 TO CN

7200　 FOR J=1 TO RN

7210　　 PRINT YY1(I,J),

7220　 NEXT J

7230　 PRINT

7240 NEXT I

7250 RETURN

7260 '

7270 ' ** INVERSE MATRIX ( AZ==>BZ ) **

7280 '

7290 *INVERSE:' [GAUSS-JORDAN]

7300 FOR I=1 TO NZ

7310　 FOR J=1 TO NZ:BZ(I,J)=0:NEXT J

7320　 BZ(I,I)=1

7330 NEXT I

7340 FOR I=1 TO NZ

7350　 IZ=I

7360　 IF AZ(I,I)=0 THEN 7370 ELSE 7430

7370　 IZ=IZ+1:IF IZ>NZ THEN RZ=1:RETURN

7380　 IF AZ(IZ,I)=0 THEN 7370

7390　 FOR J=1 TO NZ

7400　　 SWAP AZ(I,J),AZ(IZ,J)

7410　　 SWAP BZ(I,J),BZ(IZ,J)

7420　 NEXT J

7430　 AII=AZ(I,I)

7440　 FOR J=1 TO NZ

7450　　 AZ(I,J)=AZ(I,J)/AII

7460　　 BZ(I,J)=BZ(I,J)/AII

7470　 NEXT J

7480　 FOR K=1 TO NZ

7490　　 AKI=AZ(K,I):IF K=I THEN 7540

7500　　 FOR J=1 TO NZ

7510　　　 AZ(K,J)=AZ(K,J)-AKI*AZ(I,J)

7520　　　 BZ(K,J)=BZ(K,J)-AKI*BZ(I,J)

7530　　 NEXT J

7540　 NEXT K

7550 NEXT I

7560 RZ=0

7570 RETURN

7580 '

7590 '*D:

7600 DATA 2,2

7610 DATA 1,1

7620 DATA 2,2

7630 '

7640 '*D:

7650 DATA 2,2

7660 DATA 1,1

7670 DATA 1,1

7680 '

7690　*D:

7700 DATA 2,3

7710 DATA 2,1,3

7720 DATA 4,2,6

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　

【補】分割行列の逆行列についての補足

　

　　Ｈ＝［Ａ，Ｂ］　　　Ｈ~ ＝［Ｏ，Ｐ］

　　　　［Ｃ，Ｄ］　　　　　　［Ｑ，Ｒ］

　

　ここではＨは対称行列ですから，Ｃ＝Ｂ’．このときＨ~も対称行列となり，Ｑ＝Ｐ’ですから，

　　Ｄ~Ｃ［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~＝（Ａ~Ｂ［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~）’

が成り立ちます．

　

　また，対称行列において，

　　（Ａ＋ＢＤＣ）~＝Ａ~−Ａ~Ｂ（ＣＡ~Ｂ＋Ｄ~）ＣＡ~

上記の

　　Ｏ＝［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~，Ｐ＝−Ａ~Ｂ［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~

　　Ｑ＝−Ｄ~Ｃ［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~，Ｒ＝［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~

は

　　Ｏ＝Ａ~＋Ａ~Ｂ［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~ＣＡ~

　　Ｐ＝−［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~ＢＤ~

　　Ｑ＝−［Ｄ−ＣＡ~Ｂ］~ＣＡ~

　　Ｒ＝Ｄ~＋Ｄ~Ｃ［Ａ−ＢＤ~Ｃ］~ＢＤ~

とも書くことができます．これらの式は次数の高い逆行列の計算を，より次数の低い行列の逆行列から求める際に有用となります．

　

　なお，分割型正方行列の一般逆行列も同様の形で与えられます．

　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝